Олимпиадные задачи из источника «2007 год» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями
Капитан Врунгель в своей каюте разложил перетасованную колоду из 52 карт по кругу, оставив одно место свободным. Матрос Фукс с палубы, не отходя от штурвала и не зная начальной раскладки, называет карту. Если эта карта лежит рядом со свободным местом, Врунгель её туда передвигает, не сообщая Фуксу. Иначе ничего не происходит. Потом Фукс называет ещё одну карту, и так сколько угодно раз, пока сам не скажет "стоп". Может ли Фукс добиться того, чтобы после "стопа" каждая карта наверняка оказалась не там, где была вначале?
На параболе <i>y = x</i>² выбраны четыре точки <i>A, B, C, D</i> так, что прямые <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются на оси ординат.
Найдите абсциссу точки <i>D</i>, если абсциссы точек <i>A, B</i> и <i>C</i> равны <i>a, b</i> и <i>c</i> соответственно.
С ненулевым числом разрешается проделывать следующие операции:<i> x<img src="/storage/problem-media/109493/problem_109493_img_2.gif"> <img src="/storage/problem-media/109493/problem_109493_img_3.gif"> </i>,<i> x<img src="/storage/problem-media/109493/problem_109493_img_2.gif"> <img src="/storage/problem-media/109493/problem_109493_img_4.gif"> </i>. Верно ли, что из каждого ненулевого рационального числа можно получить каждое рациональное число с помощью конечного числа таких операций?
Треугольник<i> ABC </i>вписан в окружность с центром в<i> O </i>.<i> X </i>"– произвольная точка внутри треугольника<i> ABC </i>, такая, что<i> <img src="/storage/problem-media/109492/problem_109492_img_2.gif"> XAB=<img src="/storage/problem-media/109492/problem_109492_img_2.gif"> XBC=ϕ </i>, а<i> P </i>– такая точка, что<i> PX<img src="/storage/problem-media/109492/problem_109492_img_3.gif"> OX </i>,<i> <img src="/storage/problem-media/109492/problem_109492_img_2.gif"> XOP=ϕ </i>, причем углы<i> <img src="/storage/problem-media/109492/problem_109492_img_2.gif"> XOP </i>и<i> <img src="/...
Существуют ли такие натуральные числа <i>x</i> и <i>y</i>, что <i>x</i>² + <i>x</i> + 1 является натуральной степенью <i>y</i>, а <i>y</i>² + <i>y</i> + 1 – натуральной степенью <i>x</i>?
Можно ли покрасить 15 отрезков, изображённых на рисунке, в три цвета так, чтобы никакие два отрезка одного цвета не имели общего конца? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109490/problem_109490_img_2.gif"> </div>
В таблице размера <i>n×n</i> клеток: две противоположные угловые клетки – чёрные, а остальные – белые. Какое наименьшее количество белых клеток достаточно перекрасить в чёрный цвет, чтобы после этого с помощью преобразований, состоящих в перекрашивании всех клеток какого-либо столбца или какой-либо строки в противоположный цвет, можно было сделать чёрными все клетки таблицы?
В основании <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i> пирамиды <i>SA</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i> лежит точка <i>O</i>, причём <i>SA</i><sub>1</sub> = <i>SA</i><sub>2</sub> = ... = <i>SA<sub>n</sub></i> и ∠<i>SA</i><sub>1</sub><i>O</i> = ∠<i>SA</i><sub>2</sub><i>O</i> = ... = ∠<i>SA<sub>n</sub>O</i>.
При каком наименьшем значении <i>n</i> отсюда следует, что <i>SO</i> – высота пирамиды?
Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1?
Найдите все возможные значения этого произведения.
Значение <i>a</i> подобрано так, что число корней первого из уравнений 4<sup><i>x</i></sup> – 4<sup>–<i>x</i></sup> = 2 cos <i>ax</i>, 4<sup><i>x</i></sup> + 4<sup>–<i>x</i></sup> = 2 cos <i>ax</i> + 4 равно 2007.
Сколько корней при том же <i>a</i> имеет второе уравнение?