Олимпиадные задачи из источника «2007 год» для 11 класса - сложность 3-4 с решениями
Стороны треугольника <i>ABC</i> видны из точки <i>T</i> под углами 120°. Докажите, что прямые, симметричные прямым <i>AT, BT</i> и <i>CT</i> относительно прямых <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> соответственно, пересекаются в одной точке.
В однокруговом футбольном турнире играли  <i>n</i> > 4 команд. За победу давалось 3 очка, за ничью 1, за проигрыш 0. Оказалось, что все команды набрали поровну очков.
а) Докажите, что найдутся четыре команды, имеющие поровну побед, поровну ничьих и поровну поражений.
б) При каком наименьшем <i>n</i> могут не найтись пять таких команд?
С ненулевым числом разрешается проделывать следующие операции:<i> x<img src="/storage/problem-media/109493/problem_109493_img_2.gif"> <img src="/storage/problem-media/109493/problem_109493_img_3.gif"> </i>,<i> x<img src="/storage/problem-media/109493/problem_109493_img_2.gif"> <img src="/storage/problem-media/109493/problem_109493_img_4.gif"> </i>. Верно ли, что из каждого ненулевого рационального числа можно получить каждое рациональное число с помощью конечного числа таких операций?
Точки<i> A' </i>,<i> B' </i>и<i> C' </i>"– середины сторон<i> BC </i>,<i> CA </i>и<i> AB </i>треугольника<i> ABC </i>соответственно, а<i> BH </i>"– его высота. Докажите, что если описанные около треугольников<i> AHC' </i>и<i> CHA' </i>окружности проходят через точку<i> M </i>, отличную от<i> H </i>, то<i> <img src="/storage/problem-media/109488/problem_109488_img_2.gif"> ABM=<img src="/storage/problem-media/109488/problem_109488_img_2.gif"> CBB' </i>.
В таблице размера <i>n×n</i> клеток: две противоположные угловые клетки – чёрные, а остальные – белые. Какое наименьшее количество белых клеток достаточно перекрасить в чёрный цвет, чтобы после этого с помощью преобразований, состоящих в перекрашивании всех клеток какого-либо столбца или какой-либо строки в противоположный цвет, можно было сделать чёрными все клетки таблицы?
В основании <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i> пирамиды <i>SA</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i> лежит точка <i>O</i>, причём <i>SA</i><sub>1</sub> = <i>SA</i><sub>2</sub> = ... = <i>SA<sub>n</sub></i> и ∠<i>SA</i><sub>1</sub><i>O</i> = ∠<i>SA</i><sub>2</sub><i>O</i> = ... = ∠<i>SA<sub>n</sub>O</i>.
При каком наименьшем значении <i>n</i> отсюда следует, что <i>SO</i> – высота пирамиды?
Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1?
Найдите все возможные значения этого произведения.
Значение <i>a</i> подобрано так, что число корней первого из уравнений 4<sup><i>x</i></sup> – 4<sup>–<i>x</i></sup> = 2 cos <i>ax</i>, 4<sup><i>x</i></sup> + 4<sup>–<i>x</i></sup> = 2 cos <i>ax</i> + 4 равно 2007.
Сколько корней при том же <i>a</i> имеет второе уравнение?