Олимпиадные задачи из источника «2010 год» для 11 класса - сложность 2-5 с решениями
а) Три богатыря едут верхом по кольцевой дороге против часовой стрелки. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными постоянными скоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой богатыри имеют возможность обгонять друг друга?
А если богатырей
б) десять?
в) тридцать три?
Дано натуральное число. Разрешается расставить между цифрами числа плюсы произвольным образом и вычислить сумму (например, из числа 123456789 можно получить 12345 + 6 + 789 = 13140). С полученным числом снова разрешается выполнить подобную операцию, и так далее. Докажите, что из любого числа можно получить однозначное, выполнив не более 10 таких операций.
Команда из <i>n</i> школьников участвует в игре: на каждого из них надевают шапку одного из <i>k</i> заранее известных цветов, а затем по свистку все школьники одновременно выбирают себе по одному шарфу. Команда получает столько очков, у скольких её участников цвет шапки совпал с цветом шарфа (шарфов и шапок любого цвета имеется достаточное количество; во время игры каждый участник не видит своей шапки, зато видит шапки всех остальных, но не имеет права выдавать до свистка никакую информацию). Какое наибольшее число очков команда, заранее наметив план действий каждого её члена, может гарантированно получить:
а) при <i>n = k = </i>2;
б) при произвольных фиксированных <i>n</i> и <i>k</i>?
Функция <i>f</i> каждому вектору <i><b>v</b></i> (с общим началом в точке <i>O</i>) пространства ставит в соответствие число <i>f</i>(<i><b>v</b></i>), причём для любых векторов <i><b>u</b>, <b>v</b></i> и любых чисел α, β значение <i>f</i>(α<i><b>u</b></i> + β<i><b>v</b></i>) не превосходит хотя бы одного из чисел <i>f</i>(<i><b>u</b></i>) или <i>f</i>(<i><b>v</b></i>). Какое наибольшее количество значений может принимать такая функция?
Докажите, что если числа <i>x, y, z</i> при некоторых значениях <i>p</i> и <i>q</i> являются решениями системы
<i>y = x<sup>n</sup> + px + q, z = y<sup>n</sup> + py + q, x = z<sup>n</sup> + pz + q</i>,
то выполнено неравенство <i>x</i>²<i>y + y</i>²<i>z + z</i>²<i>x ≥ x</i>²<i>z + y</i>²<i>x + z</i>²<i>y</i>.
Рассмотрите случаи а) <i>n</i> = 2; б) <i>n</i> = 2010.
В квадратной песочнице, засыпанной ровным слоем песка высотой 1, Маша и Паша делали куличи при помощи цилиндрического ведёрка высоты 2. У Маши все куличи удались, а у Паши — рассыпались и превратились в конусы той же высоты. В итоге весь песок ушёл на куличи, поставленные на дне песочницы отдельно друг от друга. Чьих куличей оказалось в песочнице больше: Машиных или Пашиных?
На плоскости отметили 4<i>n</i> точек, после чего соединили отрезками все пары точек, расстояние между которыми равно 1 см. Оказалось, что среди любых <i>n</i> + 1 точек обязательно есть две, соединённые отрезком. Докажите, что всего проведено не менее 7<i>n</i> отрезков.
Можно ли, применяя к числу 2 функции sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg в любом количестве и в любом порядке, получить число 2010?
В некоторых клетках квадрата 20×20 стоит стрелочка в одном из четырёх направлений. На границе квадрата все стрелочки смотрят вдоль границы по часовой стрелке (см. рис.). Кроме того, стрелочки в соседних (возможно, по диагонали) клетках не смотрят в противоположных направлениях. Докажите, что найдётся клетка, в которой стрелочки нет. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/115497/problem_115497_img_2.gif"> </div>