Олимпиадные задачи из источника «2010 год» - сложность 1-2 с решениями
Сумма цифр натурального числа <i>n</i> равна 100. Может ли сумма цифр числа <i>n</i>³ равняться 1000000?
В треугольнике <i>ABC</i> точка <i>M</i> – середина стороны <i>AC</i>, точка <i>P</i> лежит на стороне <i>BC</i>. Отрезок <i>AP</i> пересекает <i>BM</i> в точке <i>O</i>. Оказалось, что <i>BO = BP</i>. Найдите отношение <i>OM</i> : <i>PC</i>.
Внутри выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> взята такая точка <i>P</i>, что ∠<i>PBA</i> = ∠<i>PCD</i> = 90°. Точка <i>M</i> – середина стороны <i>AD</i>, причём <i>BM = CM</i>.
Докажите, что ∠<i>PAB</i> = ∠<i>PDC</i>.
В квадратной песочнице, засыпанной ровным слоем песка высотой 1, Маша и Паша делали куличи при помощи цилиндрического ведёрка высоты 2. У Маши все куличи удались, а у Паши — рассыпались и превратились в конусы той же высоты. В итоге весь песок ушёл на куличи, поставленные на дне песочницы отдельно друг от друга. Чьих куличей оказалось в песочнице больше: Машиных или Пашиных?
Какое наибольшее значение может принимать выражение <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115510/problem_115510_img_2.gif"> где <i>a, b, c</i> – попарно различные ненулевые цифры?
Дана трапеция <i>ABCD</i> с основаниями <i>AD = a</i> и <i>BC = b</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> лежат на сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно, причём отрезок <i>MN</i> параллелен основаниям трапеции. Диагональ <i>AC</i> пересекает этот отрезок в точке <i>O</i>. Найдите <i>MN</i>, если известно, что площади треугольников <i>AMO</i> и <i>CNO</i> равны.
Известно, что сумма любых двух из трёх квадратных трёхчленов <i>x</i>² + <i>ax + b</i>, <i>x</i>² + <i>cx + d</i>, <i>x</i>² + <i>ex + f</i> не имеет корней.
Может ли сумма всех этих трёхчленов иметь корни?
На стороне<i> AB </i>прямоугольника<i> ABCD </i>выбрана точка<i> M </i>. Через эту точку проведён перпендикуляр к прямой<i> CM </i>, который пересекает сторону <i> AD </i>в точке <i> E </i>. Точка<i> P </i> — основание перпендикуляра, опущенного из точки <i> M </i>на прямую <i> CE </i>. Найдите угол <i> APB </i>.
Съев на пустой желудок трёх поросят и семерых козлят, Серый Волк всё ещё страдал от голода. Зато в другой раз он съел на пустой желудок семь поросят и козлёнка и страдал уже от обжорства. От чего пострадает Волк, если съест на пустой желудок 11 козлят?
На столе в виде треугольника выложены28монет одинакового размера (рис.). Известно, что суммарная масса любой тройки монет, которые попарно касаются друг друга, равна10 г. Найдите суммарную массу всех18 монет на границе треугольника.
<center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115493/problem_115493_img_2.gif"> </i></center>
КУБ является кубом. Докажите, что ШАР кубом не является. (КУБ и ШАР — трёхзначные числа, разные буквы обозначают различные цифры.)