Олимпиадные задачи из источника «9 класс» для 2-9 класса - сложность 2 с решениями

Точки <i>O</i> и <i>I</i> – центры описанной и вписанной окружностей неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Две равные окружности касаются сторон <i>AB, BC</i> и <i>AC</i>, <i>BC</i> соответственно; кроме этого, они касаются друг друга в точке <i>K</i>. Оказалось, что <i>K</i> лежит на прямой <i>OI</i>. Найдите ∠<i>BAC</i>.

По кругу в некотором порядке расставлены все натуральные числа от 1 до 1000 таким образом, что каждое из чисел является делителем суммы двух своих соседей. Известно, что рядом с числом <i>k</i> стоят два нечётных числа. Какой чётности может быть число <i>k</i>?

Существует ли такое натуральное число <i>n</i>, что числа <i>n, n</i>², <i>n</i>³ начинаются на одну и ту же цифру, отличную от единицы?