Олимпиадные задачи из источника «2017 год» для 11 класса - сложность 2 с решениями
Незнайка знаком только с десятичными логарифмами и считает, что логарифм суммы двух чисел равен произведению их логарифмов, а логарифм разности двух чисел равен частному их логарифмов. Может ли Незнайка подобрать хотя бы одну пару чисел, для которой действительно верны одновременно оба этих равенства?
Даны две непостоянные прогрессии (<i>a<sub>n</sub></i>) и (<i>b<sub>n</sub></i>), одна из которых арифметическая, а другая – геометрическая. Известно, что <i>a</i><sub>1</sub> = <i>b</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub> : <i>b</i><sub>2</sub> = 2 и
<i>a</i><sub>4</sub> : <i>b</i><sub>4</sub> = 8. Чему может быть равно отношение <i>a</i><sub>3</sub> : <i>b</i><sub>3</sub>?
На вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>, касающейся стороны <i>AC</i> в точке <i>S</i>, нашлась такая точка <i>Q</i>, что середины отрезков <i>AQ</i> и <i>QC</i> также лежат на вписанной окружности. Докажите, что <i>QS</i> – биссектриса угла <i>AQC</i>.
Найдите наименьшее натуральное число, кратное 80, в котором можно так переставить две его различные цифры, что получившееся число также будет кратно 80.
У Васи есть камень (однородный, без внутренних полостей), имеющий форму выпуклого многогранника, у которого есть только треугольные и шестиугольные грани. Вася утверждает, что он разбил этот камень на две части так, что можно сложить из них куб (без внутренних полостей). Могут ли слова Васи быть правдой?
На плоскости даны треугольник <i>ABC</i> и 10 прямых, среди которых нет параллельных друг другу. Оказалось, что каждая из прямых равноудалена от каких-то двух вершин треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что хотя бы три из этих прямых пересекаются в одной точке.