Олимпиадные задачи из источника «7 класс»

Какое наибольшее количество прямоугольников 41 можно разместить в квадрате 66 (не нарушая границ клеток)?

Отрезки <i>АС</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>О</i>. Периметр треугольника <i>АВС</i> равен периметру треугольника <i>АВD</i>, а периметр треугольника <i>ACD</i> равен периметру треугольника <i>BCD</i>. Найдите длину <i>АО</i>, если <i>ВО</i> = 10 см.

Расположите в порядке возрастания числа: 222²; 22²²; 2²²²; 22^2²; 2^22²; 2^2²²; 2^{2^2²}. Ответ обоснуйте.

На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду) либо лжец (который всегда лжёт). Однажды все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: "Он – рыцарь!", либо "Он – лжец!". Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?

Дана пирамида<i>АВСD</i>(см. рис.). Известно, что $\triangle$<i>ADB</i>=$\triangle$<i>DBC</i>; $\triangle$<i>ABD</i>=$\triangle$<i>BDC</i>; $\triangle$<i>BAD</i>=$\triangle$<i>ABC</i>. Найдите площадь поверхности пирамиды (сумму площадей четырех треугольников), если площадь треугольника<i>АВС</i>равна 10 см². <div align="center"><img src="/storage/problem-media/86491/problem_86491_img_3.gif"> </div>

Вася задумал три различные цифры, отличные от нуля. Петя записал все возможные двузначные числа, в десятичной записи которых использовались только эти цифры. Сумма записанных чисел равна 231. Найдите цифры, задуманные Васей.

В клетках шахматной доски записаны в произвольном порядке натуральные числа от 1 до 64 (в каждой клетке записано ровно одно число и каждое число записано ровно один раз). Может ли в ходе шахматной партии сложиться ситуация, когда сумма чисел, записанных в клетках, занятых фигурами, ровно вдвое меньше суммы чисел, записанных в клетках, свободных от фигур?

Через вершины <i>А</i> и <i>С</i> треугольника <i>АВС</i> проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла <i>АВС</i>. Они пересекают прямые <i>СВ</i> и <i>ВА</i> в точках <i>К</i> и <i>М</i> соответственно. Найдите длину <i>АВ</i>, если  <i>ВМ</i> = 8 см,  <i>KC</i> = 1 см  и  <i>АВ</i> > <i>ВС</i>.

Докажите, что   ½ – &frac13; + ¼ – &frac15; + ... + ¹/₉₈ – ¹/₉₉ + ¹/₁₀₀ > &frac15;.

Назовем натуральное число "замечательным", если оно самое маленькое среди натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Чему равна сумма цифр две тысячи первого замечательного числа?

Куб сложен из 27 одинаковых кубиков (см. рис.). Сравните площадь поверхности этого куба и площадь поверхности фигуры, которая получится, если из него вынуть все "угловые" кубики. <center><img src="/storage/problem-media/86485/problem_86485_img_2.gif"></center>

При каких значениях <i>m</i> уравнения  <i>mx</i> – 1000 = 1001  и  1001<i>x = m</i> – 1000<i>x</i>  имеют общий корень?