Олимпиадные задачи из источника «2000/01» для 1-7 класса - сложность 2-5 с решениями

Докажите, что если каждое из двух чисел является суммой квадратов двух целых чисел, то и их произведение является суммой квадратов двух целых чисел.

Трое рабочих копают яму. Они работают по очереди, причём каждый из них работает столько времени, сколько нужно двум другим, чтобы вырыть половину ямы. Работая таким образом, они выкопали яму. Во сколько раз быстрее трое рабочих выкопают такую же яму, если будут работать одновременно?

Существует ли выпуклый четырёхугольник, у которого сумма длин диагоналей не меньше периметра?

Какое наибольшее количество прямоугольников 41 можно разместить в квадрате 66 (не нарушая границ клеток)?

Отрезки <i>АС</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>О</i>. Периметр треугольника <i>АВС</i> равен периметру треугольника <i>АВD</i>, а периметр треугольника <i>ACD</i> равен периметру треугольника <i>BCD</i>. Найдите длину <i>АО</i>, если <i>ВО</i> = 10 см.