Олимпиадные задачи из источника «7 класс» для 2-11 класса - сложность 2-3 с решениями

Верно ли, что изменив одну цифру в десятичной записи любого натурального числа, можно получить простое число?

На гипотенузе <i>AB</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> выбрана такая точка <i>D</i>, что  <i>BD = BC</i>,  а на катете <i>BC</i> – такая точка <i>E</i>, что  <i>DE = BE</i>.

Докажите, что  <i>AD + CE = DE</i>.

На листе бумаги были построены система координат (выделена жирно) и графики трёх функций:  <i>y = ax + b,  y = bx + c</i>  и  <i>y = cx + a</i>.  После этого стёрли обозначения и направления осей, а сам лист как-то повернули (см. рисунок). Укажите на рисунке ось абсцисс и ее направление.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65221/problem_65221_img_2.gif"></div>

Девять чисел таковы, что сумма каждых четырёх из них меньше суммы пяти остальных. Докажите, что все числа положительны.

Известно, что остаток от деления некоторого простого числа на 60 равен составному числу. Какому?

В некоторый момент угол между часовой и минутной стрелками равен α. Через час он опять равен α. Найдите все возможные значения α.

Банк "Империал" при снятии денег со счета берет комиссию, состоящую из двух частей: фиксированной оплаты за проведение операции и еще оплаты, пропорциональной снятой сумме. Например, при снятии со счета 5000 рублей вкладчик заплатит 110 рублей, а при снятии 11000 рублей заплатит 230 рублей. Какую комиссию заплатит вкладчик, если он захочет снять со счета 8000 рублей?