Олимпиадные задачи из источника «9 класс» для 7-8 класса - сложность 2 с решениями

На сторонах <i>АВ</i> и <i>АС </i>равнобедренного треугольника <i>АВС</i>  (<i>АВ = АС</i>)  соответственно отмечены точки <i>М</i>и <i>N</i> так, что  <i>АN > AM</i>.  Прямые <i>MN</i> и <i>ВС</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Сравните длины отрезков <i>MK</i> и <i>MB</i>.

Каких натуральных чисел от 1 до 1000000 (включительно) больше: чётных с нечётной суммой цифр или нечётных с чётной суммой цифр?

Сумма трёх различных чисел равна 10, а разность между наибольшим и наименьшим равна 3.

Какие значения может принимать число, среднее по величине?

На доске записаны числа 20 и 100. Разрешается дописать на доску произведение любых двух имеющихся на ней чисел. Можно ли такими операциями когда-нибудь получить на доске число 50...0 (2015 нулей)?

Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой на две части. Затем одну часть снова разрезал по прямой на две. Потом одну из получившихся частей опять разрезал на две части, и так далее, всего он резал бумагу сто раз. Потом Петя подсчитал суммарное количество вершин у всех получившихся многоугольников – получилось всего 302 вершины. Могло ли так быть?