Олимпиадные задачи из источника «11 (2013 год)» для 7-10 класса - сложность 2 с решениями

Внутри угла <i>AOD</i> проведены лучи <i>OB</i> и <i>OC</i>, причём  ∠<i>AOB</i> = ∠<i>COD</i>.  В углы <i>AOB</i> и <i>COD</i> вписаны непересекающиеся окружности.

Докажите, что точка пересечения общих внутренних касательных к этим окружностям лежит на биссектрисе угла <i>AOD</i>.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64339/problem_64339_img_2.gif"></div>

Диагонали вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Описанные окружности треугольников <i>AOB</i> и <i>COD</i> пересекаются в точке <i>M</i> на стороне <i>AD</i>. Докажите, что точка <i>O</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>BMC</i>.

Циркулем и линейкой разбейте данный треугольник на два меньших треугольника с одинаковой суммой квадратов сторон.

В треугольнике <i>ABC</i> биссектриса <i>AK</i> перпендикулярна медиане <i>CL</i>.

Докажите, что в треугольнике <i>BKL</i> также одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.