Олимпиадные задачи из источника «15 (2017 год)» для 9 класса - сложность 3 с решениями

Вписанная окружность неравнобедренного треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>AB, BC</i> и <i>ABC</i> в точках <i>C</i>₁, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ соответственно. Описанная окружность треугольника <i>A</i>₁<i>BC</i>₁ пересекает прямые <i>B</i>₁<i>A</i>₁ и <i>B</i>₁<i>C</i>₁ в точках <i>A</i>₀ и <i>C</i>₀ соответственно. Докажите, что ортоцентр <i>H</i> треугольник...

На плоскости даны неравнобедренный треугольник, его описанная окружность, и отмечен центр его вписанной окружности.

Пользуясь только линейкой без делений и проведя не больше семи линий, постройте диаметр описанной окружности.

Вокруг треугольника <i>ABC</i> с острым углом <i>C</i> описана окружность. На дуге <i>AB</i>, не содержащей точку <i>C</i>, выбрана точка <i>D</i>. Точка <i>D'</i> симметрична точке <i>D</i> относительно прямой <i>AB</i>. Прямые <i>AD'</i> и <i>BD'</i> пересекают стороны <i>BC</i> и <i>AC</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i>. Пусть точка <i>C</i> движется по своей дуге <i>AB</i>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>CEF</i> движется по прямой.

Два квадрата расположены, как показано на рисунке. Докажите, что площадь чёрного треугольника равна сумме площадей серых. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/66139/problem_66139_img_2.gif"></div>

Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно четырёхугольника <i>ABCD</i>. Известно, что  <i>BC || AD</i>  и  <i>AN = CM</i>.

Верно ли, что <i>ABCD</i> – параллелограмм?