Олимпиадные задачи из источника «Московская устная олимпиада по геометрии» для 2-9 класса - сложность 3-4 с решениями

Восстановите треугольник с помощью циркуля и линейки по точке пересечения высот и основаниям медианы и биссектрисы, проведённых к одной из сторон.

Дана окружность и хорда <i>AB</i>, отличная от диаметра. По большей дуге <i>AB</i> движется точка <i>C</i>. Окружность, проходящая через точки <i>A</i>, <i>C</i> и точку <i>H</i> пересечения высот треугольника <i>ABC</i>, повторно пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>P</i>. Докажите, что прямая <i>PH</i> проходит через фиксированную точку, не зависящую от положения точки <i>C</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> точка <i>I</i> – центр вписанной окружности, точки <i>I_A</i>, <i>I_C</i> – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон <i>BC</i> и <i>AB</i> соответственно. Точка <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>II_AI_C</i>. Докажите, что  <i>OI</i> ⊥ <i>AC</i>.

Дан равносторонний треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>, проходящая через его центр. Точки пересечения этой прямой со сторонами <i>AB</i> и <i>BC</i> отразили относительно середин этих сторон соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через получившиеся точки, касается вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

B остроугольном треугольнике ровно один из углов равен 60°. Докажите, что прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения медиан треугольника, отсекает от него равносторонний треугольник.

Hа сторонах треугольника <i>ABC</i> во внешнюю сторону построены правильные треугольники <i>ABC</i>₁, <i>BCA</i>₁, <i>CAB</i>₁. Hа отрезке <i>A</i>₁<i>B</i>₁ во внешнюю сторону треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ построен правильный треугольник <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₂. Докажите, что <i>C</i> – середина отрезка <i>C</i>₁<i>C</i><...

Дан произвольный треугольник <i>ABC</i>. Постройте прямую, проходящую через вершину <i>B</i> и делящую его на два треугольника, радиусы вписанных окружностей которых равны.

Пусть <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – середины сторон треугольника <i>ABC, I</i> – центр вписанной в него окружности, <i>C</i>₂ – точка пересечения прямых <i>C</i>₁<i>I</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁, <i>C</i>₃ – точка пересечения прямых <i>CC</i>₂ и <i>AB</i>. Докажите, что прямая <i>IC</i>₃ перпендикулярна прямой <i>AB</i>.

В окружность вписан треугольник <i>ABC</i>. Постройте такую точку <i>P</i>, что точки пересечения прямых <i>AP, BP</i> и <i>CP</i> с данной окружностью являются вершинами равностороннего треугольника.

На плоскости расположен круг. Какое наименьшее количество прямых надо провести, чтобы, симметрично отражая данный круг относительно этих прямых (в любом порядке конечное количество раз), можно было накрыть им любую заданную точку плоскости?

Дан треугольник <i>АВС.</i> Точка <i>О</i>₁ – центр прямоугольника <i>ВСDE</i>, построенного так, что сторона <i>DE</i> прямоугольника содержит вершину <i>А</i> треугольника. Точки <i>О</i>₂ и <i>О</i>₃ являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах <i>АС</i> и <i>АВ</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>АО</i>₁, <i>ВО</i>₂ и <i>СО</i>₃ пересекаются в одной точке.

В треугольнике <i>ABC</i> <i>M</i> – точка пересечения медиан, <i>O</i> – центр вписанной окружности, <i>A'</i>, <i>B'</i>, <i>C'</i> – точки ее касания со сторонами <i>BC</i>, <i>CA</i>, <i>AB</i> соответственно. Докажите, что, если <i>CA' </i>= <i>AB</i>, то прямые <i>OM</i> и <i>AB</i> перпендикулярны.

Дана окружность и точка <i>P</i> внутри неё. Два произвольных перпендикулярных луча с началом в точке <i>P</i> пересекают окружность в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Tочка <i>X</i> является проекцией точки <i>P</i> на прямую <i>AB</i>, <i>Y</i> – точка пересечения касательных к окружности, проведённых через точки <i>A</i> и <i>B</i>. Докажите, что все прямые <i>XY</i> проходят через одну и ту же точку.

Cередины противолежащих сторон шестиугольника соединены отрезками. Oказалось, что точки попарного пересечения этих отрезков образуют равносторонний треугольник. Докажите, что проведённые отрезки равны.

Bнутри окружности зафиксирована точка <i>P</i>. <i>C</i> — произвольная точка окружности, <i>AB</i> – хорда, проходящая через точку <i>P</i> и перпендикулярная отрезку <i>PC</i>. Tочки <i>X</i> и <i>Y</i> являются проекциями точки <i>P</i> на прямые <i>AC</i> и <i>BC</i>. Докажите, что все отрезки <i>XY</i> касаются одной и той же окружности.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Tочки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ симметричны его вершинам относительно противоположных сторон. <i>C</i>₂ – точка пересечения прямых <i>AB</i>₁ и <i>BA</i>₁, точки <i>A</i>₂ и <i>B</i>₂ определяются аналогично. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>B</i>₁<i>B</i>₂ и <i>C</i>₁<i>C</i&...

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника параллельны. Hазовём <i>высотой</i> такого шестиугольника отрезок с концами на прямых, содержащих противолежащие стороны и перпендикулярный им. Докажите, что вокруг этого шестиугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда его высоты можно параллельно перенести так, чтобы они образовали треугольник.

Bосстановите остроугольный треугольник по ортоцентру и серединам двух сторон.

Фиксированы две окружности <i>w</i>₁ и <i>w</i>₂, одна их внешняя касательная <i>l</i> и одна их внутренняя касательная <i>m</i>. На прямой <i>m</i> выбирается точка <i>X</i>, а на прямой <i>L</i> строятся точки <i>Y</i> и <i>Z</i> так, что <i>XY</i> и <i>XZ</i> касаются <i>w</i>₁ и <i>w</i>₂ соответственно, а треугольник <i>XYZ</i> содержит окружности <i>w</i>₁ и <i>w</i>₂. Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники <i>XYZ</i>, лежат...

В некоторой точке круглого острова радиусом 1 км зарыт клад. На берегу острова стоит математик с прибором, который указывает направление на клад, когда расстояние до клада не превосходит 500 м. Кроме того, у математика есть карта острова, на которой он может фиксировать все свои перемещения, выполнять измерения и геометрические построения. Математик утверждает, что у него есть алгоритм, как добраться до клада, пройдя меньше 4 км. Может ли это быть правдой?

B треугольнике <i>ABC</i> точка <i>O</i> – центр описанной окружности. Прямая <i>a</i> проходит через середину высоты треугольника, опущенной из вершины <i>A</i>, и параллельна <i>OA</i>. Aналогично определяются прямые <i>b</i> и <i>c</i>. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.

Из вершины <i>A</i> параллелограмма <i>ABCD</i> опущены высоты <i>AM</i> на <i>BC</i> и <i>AN</i> на <i>CD</i>. <i>P</i> – точка пересечения <i>BN</i> и <i>DM</i>. Докажите, что прямые <i>AP</i> и <i>MN</i> перпендикулярны.

Cерединные перпендикуляры к сторонам <i>BC</i> и <i>AC</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекают прямые <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Пусть точка <i>C</i> движется по описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, оставаясь в одной полуплоскости относительно <i>AB</i> (при этом точки <i>A</i> и <i>B</i> неподвижны). Докажите, что прямая <i>MN</i> касается фиксированной окружности.

На сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> квадрата <i>ABCD</i> взяты точки <i>K</i> и <i>M</i> соответственно, а на диагонали <i>AC</i> – точка <i>L</i> так, что <i>ML = KL</i>. Пусть <i>P</i> – точка пересечения отрезков <i>MK</i> и <i>BD</i>. Найдите угол <i>KPL</i>.

Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i> с основанием <i>AC</i>. <i>H</i> – точка пересечения высот. На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>K</i> и соответственно так, что ∠<i>KMH</i> = 90°. Докажите, что из отрезков <i>AK</i>, <i>CM</i> и <i>MK</i> можно сложить прямоугольный треугольник.