Олимпиадные задачи из источника «11 класс» - сложность 2-5 с решениями

В каждой клетке шахматной доски сидят по два таракана. В некоторый момент времени каждый таракан переползает на соседнюю (по стороне) клетку, причём тараканы, сидевшие в одной клетке, переползают в разные клетки. Какое наибольшее количество клеток доски может после этого остаться свободным?

Докажите, что если<i> α </i>,<i> β </i>и<i> γ </i>– углы остроугольного треугольника, то<i> sinα + sinβ + sinγ > </i>2.

В треугольнике<i> ABC </i>точка<i> D </i>– середина стороны<i> AB </i>. Можно ли так расположить точки<i> E </i>и<i> F </i>на сторонах<i> AC </i>и<i> BC </i>соответственно, чтобы площадь треугольника<i> DEF </i>оказалась больше суммы площадей треугольников<i> AED </i>и<i> BFD </i>?

Непрерывная функция<i> f</i>(<i>x</i>)такова, что для всех действительных<i> x </i>выполняется неравенство:<i> f</i>(<i>x²</i>)<i>-</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))<i>²<img src="/storage/problem-media/111264/problem_111264_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/111264/problem_111264_img_3.gif"> </i>. Верно ли, что функция<i> f</i>(<i>x</i>)обязательно имеет точки экстремума?

Найдите угол при вершине осевого сечения прямого кругового конуса, если известно, что существуют три образующие боковой поверхности конуса, попарно перпендикулярные друг другу.

В первый день Маша собрала на 25% грибов меньше, чем Вася, а во второй – на 20% больше, чем Вася. За два дня Маша собрала грибов на 10% больше, чем Вася. Какое наименьшее количество грибов они могли собрать вместе?

Найдите все положительные корни уравнения  <i>x^x + x</i>^1–<i>x</i> = <i>x</i> + 1.