Олимпиадные задачи из источника «2015 год» для 3-9 класса
Через точку <i>P</i> проведены три отрезка, параллельные сторонам треугольника <i>ABC</i> (см. рисунок).
Докажите, что площади треугольников <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>2</sub> равны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65521/problem_65521_img_2.png"></div>
В турнире участвовали 50 шахматистов. В некоторый момент турнира была сыграна 61 партия, причём каждый участник сыграл либо две партии, либо три (и никто не играл друг с другом дважды). Могло ли оказаться так, что никакие два шахматиста, сыгравшие по три партии, не играли между собой?
Даны три квадратных трёхчлена: <i>x</i>² + <i>b</i><sub>1</sub><i>x</i> + <i>c</i><sub>1</sub>, <i>x</i>² + <i>b</i><sub>2</sub><i>x</i> + <i>c</i><sub>2</sub> и <i>x</i>² + ½ (<i>b</i><sub>1</sub> + <i>b</i><sub>2</sub>)<i>x</i> + ½ (<i>c</i><sub>1</sub> + <i>c</i><sub>2</sub>). Известно, что их сумма имеет корни (возможно, два совпадающих). Докажите, что хотя бы у двух из этих трёхчленов также есть корни (возможно, два совпадающих).
В остроугольном треугольнике <i>MKN</i> проведена биссектриса <i>KL</i>. Точка <i>X</i> на стороне <i>MK</i> такова, что <i>KX = KN</i>. Докажите, что прямые <i>KO</i> и <i>XL</i> перпендикулярны (<i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>MKN</i>).
Каково наибольшее количество последовательных натуральных чисел, у каждого из которых ровно четыре натуральных делителя (включая 1 и само число)?
В клетках квадрата 3×3 записаны буквы (см. рисунок). Можно ли их расставить так, чтобы каждые две буквы, исходно отстоявшие на ход коня, после перестановки оказались в клетках, отстоящих на ход короля? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65516/problem_65516_img_2.png"></div>
В ожидании покупателей продавец арбузов поочерёдно взвесил 20 арбузов (массой 1 кг, 2 кг, 3 кг, ..., 20 кг), уравновешивая арбуз на одной чашке весов одной или двумя гирями на другой чашке (возможно, одинаковыми). При этом продавец записывал на бумажке, гири какой массы он использовал. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться в его записях, если масса каждой гири – целое число килограммов?
Квадрат <i>ABCD</i> и равнобедренный прямоугольный треугольник <i>AEF</i> (∠<i>AEF</i> = 90°) расположены так, что точка <i>E</i> лежит на отрезке <i>BC</i> (см. рисунок). Найдите угол <i>DCF</i>.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65514/problem_65514_img_2.png"></div>
Из Златоуста в Миасс выехали одновременно "ГАЗ", "МАЗ" и "КамАЗ". "КамАЗ", доехав до Миасса, сразу повернул назад и встретил "МАЗ" в 18 км, а "ГАЗ" – в 25 км от Миасса. "МАЗ", доехав до Миасса, также сразу повернул назад и встретил "ГАЗ" в 8 км от Миасса. Каково расстояние от Златоуста до Миасса?
В треугольник <i>ABC</i> вписана окружность с центром <i>O</i>. На стороне <i>AB</i> выбрана точка <i>P</i>, а на продолжении стороны <i>AC</i> за точку <i>C</i> – точка <i>Q</i> так, что отрезок <i>PQ</i> касается окружности. Докажите, что ∠<i>BOP</i> = ∠<i>COQ</i>.
Могут ли произведения всех ненулевых цифр двух последовательных натуральных чисел отличаться ровно в 54 раза?
Известно, что <i>a</i>² + <i>b = b</i>² + <i>c = c</i>² + <i>a</i>. Какие значения может принимать выражение <i>a</i>(<i>a</i>² – <i>b</i>²) + <i>b</i>(<i>b</i>² – <i>c</i>²) + <i>c</i>(<i>c</i>² – <i>a</i>²)?
Внутри равностороннего треугольника <i>ABC</i> отмечена произвольная точка <i>M</i>. Докажите, что можно выбрать на стороне <i>AB</i> точку <i>C</i><sub>1</sub>, на стороне <i>BC</i> – точку <i>A</i><sub>1</sub>, а на стороне <i>AC</i> – точку <i>B</i><sub>1</sub> таким образом, чтобы длины сторон треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> были равны отрезкам <i>MA, MB</i> и <i>MC</i>.
В каждой клетке таблицы размером 13×13 записано одно из натуральных чисел от 1 до 25. Клетку назовём <i>хорошей</i>, если среди двадцати пяти чисел, записанных в ней и во всех клетках одной с ней горизонтали и одной с ней вертикали, нет одинаковых. Могут ли все клетки одной из главных диагоналей оказаться хорошими?
Двенадцать стульев стоят в ряд. Иногда на один из свободных стульев садится человек. При этом ровно один из его соседей (если они были) встаёт и уходит. Какое наибольшее количество человек могут одновременно оказаться сидящими, если вначале все стулья были пустыми?
<i>ABCD</i> – выпуклый четырёхугольник. Известно, что ∠<i>CAD</i> = ∠<i>DBA</i> = 40°, ∠<i>CAB</i> = 60°, ∠<i>CBD</i> = 20°. Найдите угол <i>CDB</i>.
Сорока-ворона кашу варила, деток кормила. Третьему птенцу досталось столько же каши, сколько первым двум вместе взятым. Четвёртому – столько же, сколько второму и третьему. Пятому – столько же, сколько третьему и четвёртому. Шестому – столько же, сколько четвёртому и пятому. А седьмому не досталось – каша кончилась! Известно, что пятый птенец получил 10 г каши. Сколько каши сварила сорока-ворона?
Натуральное число <i>n</i> называется <i>хорошим</i>, если после приписывания его справа к любому натуральному числу получается число, делящееся на <i>n</i>. Запишите десять хороших чисел, которые меньше чем 1000.
У учеников 5А класса было в сумме 2015 карандашей. Один из них потерял коробку с пятью карандашами, а вместо неё купил коробку, в которой 50 карандашей. Сколько теперь карандашей у учеников 5А класса?
На доске записаны семь различных нечётных чисел. Таня подсчитала их среднее арифметическое, а Даня упорядочил эти числа по возрастанию и выбрал из них число, оказавшееся посередине. Если из Таниного числа вычесть Данино, то получится число <sup>3</sup>/<sub>7</sub>. Не ошибся ли кто-нибудь из них?
За одну операцию можно поменять местами любые две строки или любые два столбца квадратной таблицы. Можно ли за несколько таких операций из закрашенной фигуры, изображённой на рисунке слева, получить закрашенную фигуру, изображённую на рисунке справа? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65501/problem_65501_img_2.png"></div>
На завтрак Карлсон съел 40% торта, а Малыш съел 150 г. На обед Фрекен Бок съела 30% остатка и ещё 120 г, а Матильда вылизала оставшиеся 90 г крошек от торта. Какой массы был торт изначально?
Заполните квадрат размером 6×6 фигурками тетриса (см. рисунок) так, чтобы использовать фигурки каждого из указанных видов. (Фигурки можно как поворачивать, так и переворачивать.)<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65499/problem_65499_img_2.png"></div>
На длинной ленте написаны цифры 201520152015…. Вася вырезал ножницами два куска ленты и составил из них положительное число, которое делится на 45. Приведите пример таких кусков и запишите число, составленное из них.
На школьный Новогодний праздник в городе Лжерыцарске пришёл 301 ученик. Из них некоторые всегда говорят правду, а остальные – всегда лгут. Каждый из 200 школьников сказал: "Если я выйду из зала, то среди оставшихся учеников большинство будет лжецами". Каждый из остальных школьников заявил: "Если я выйду из зала, то среди оставшихся учеников лжецов будет вдвое больше, чем говорящих правду". Сколько лжецов было на празднике?