Олимпиадные задачи из источника «10 турнир (1988/1989 год)» для 5-7 класса - сложность 1-2 с решениями

Лестница имеет 100 ступенек. Коля хочет спуститься по лестнице, при этом он двигается начиная сверху прыжками вниз и вверх по очереди. Прыжки бывают трёх типов – на шесть ступенек (через пять на шестую), на семь и на восемь. Два раза на одну ступеньку Коля не становится. Сможет ли он спуститься?

Найти два шестизначных числа такие, что если их приписать друг к другу, то полученное двенадцатизначное число делится на произведение двух исходных чисел. Найти все такие пары чисел.

Можно ли провести в каждом квадратике на поверхности кубика Рубика диагональ так, чтобы получился несамопересекающийся путь?

Найти шесть различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых делится на сумму этих двух чисел.

Положительные числа <i>a, b, c, d</i> таковы, что  <i>a ≤ b ≤ c ≤ d</i>  и  <i>a + b + c + d</i> ≥ 1.  Докажите, что  <i>a</i>² + 3<i>b</i>² + 5<i>c</i>² + 7<i>d</i>² ≥ 1.

Какую цифру надо поставить вместо знака "?" в числе 888...88?99...999 (восьмёрка и девятка написаны по 50 раз), чтобы оно делилось на 7?

Положительные числа <i>a, b, c</i> таковы, что  <i>a ≥ b ≥ c</i>  и  <i>a + b + c</i> ≤ 1.  Докажите, что  <i>a</i>² + 3<i>b</i>² + 5<i>c</i>² ≤ 1.

Какое наименьшее количество клеток нужно отметить на шахматной доске, чтобы

  1) среди отмеченных клеток не было соседних (имеющих общую сторону или общую вершину),

  2) добавление к этим клеткам любой одной клетки нарушало пункт 1?

В каждой вершине куба стоит число +1 или –1. В центре каждой грани куба поставлено число, равное произведению чисел в вершинах этой грани.

Может ли сумма получившихся 14 чисел оказаться равной 0?

Каждую грань кубика разбили на четыре равных квадрата и раскрасили эти квадраты в три цвета так, чтобы квадраты, имеющие общую сторону, были покрашены в разные цвета. Докажите, что в каждый цвет покрашено по 8 квадратиков.

Докажите, что из любых семи натуральных чисел (не обязательно идущих подряд) можно выбрать три числа, сумма которых делится на 3.

Известно, что доля блондинов среди голубоглазых больше чем доля блондинов среди всех людей.

Что больше: доля голубоглазых среди блондинов или доля голубоглазых среди всех людей?