Олимпиадные задачи из источника «11 турнир (1989/1990 год)» для 11 класса - сложность 3 с решениями

Существует ли выпуклый многогранник, одно из сечений которого – треугольник (сечение не проходит через вершины), и в каждой вершине сходятся

  а) не меньше пяти рёбер,

  б) ровно пять рёбер?

Какое минимальное количество точек на поверхности

   а) додекаэдра,

   б) икосаэдра

надо отметить, чтобы на каждой грани была хотя бы одна отмеченная точка?

На какое максимальное число частей могут разбить координатную плоскость <i>xOy</i> графики 100 квадратных трехчлёнов вида

<i>y = a_nx</i>² + <i>b_nx + c_n</i>  (<i>n</i> = 1, 2, ..., 100)?

Отмечено 100 точек – <i>N</i> вершин выпуклого <i>N</i>-угольника и  100 – <i>N</i>  точек внутри этого <i>N</i>-угольника. Точки как-то обозначены, независимо от того, какие являются вершинами <i>N</i>-угольника, а какие лежат внутри. Известно, что никакие три точки не лежат на одной прямой, а никакие четыре – на двух параллельных прямых. Разрешается задавать вопросы типа: чему равна площадь треугольника <i>XYZ</i> (<i>X, Y, Z</i> – из числа отмеченных точек). Докажите, что 300 вопросов достаточно, чтобы выяснить, какие точки являются вершинами <i>N</i>-угольника, и чтобы найти его площадь.