Олимпиадные задачи из источника «13 турнир (1991/1992 год)» для 9 класса - сложность 1-2 с решениями

Стороны треугольника равны 3, 4 и 5. Биссектрисы внешних углов треугольника продолжены до пересечения с продолжениями сторон.

Докажите, что одна из трёх полученных точек есть середина отрезка, соединяющего две другие.

В трапеции <i>ABCD</i> (<i>AD</i> – основание) диагональ <i>AC</i> равна сумме оснований, а угол между диагоналями равен 60°.

Докажите, что трапеция равнобедренная.

Во вписанном четырёхугольнике <i>ABCD</i> длины сторон <i>BC</i> и <i>CD</i> равны. Докажите, что площадь этого четырёхугольника равна  ½ <i>AC</i>² sin∠<i>A</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>AB</i> выбрана точка <i>D</i>, отличная от <i>B</i>, причём  <i>AD</i> : <i>DC = AB</i> : <i>BC</i>.  Докажите, что угол <i>C</i> тупой.

Внутри угла расположены две окружности с центрами <i>A</i> и <i>B</i>. Они касаются друг друга и двух сторон угла.

Докажите, что окружность с диаметром <i>AB</i> касается сторон угла.

Докажите, что произведение всех целых чисел от  2¹⁹¹⁷ + 1  до  2¹⁹⁹¹ – 1  включительно не есть квадрат целого числа.

По окружности выписано 10 чисел, их сумма равна 100. Известно, что сумма каждой тройки чисел, стоящих подряд, не меньше 29.

Укажите такое наименьшее число <i>A</i>, что в любом таком наборе чисел каждое из чисел не превышает <i>A</i>.

Первого числа некоторого месяца в магазине было 10 видов товаров по одинаковой цене за штуку. После этого каждый день каждый товар дорожает либо в 2 раза, либо в 3 раза. Первого числа следующего месяца все цены оказались различными. Докажите, что отношение максимальной цены к минимальной больше 27.

<i>n</i> чисел  (<i>n</i> > 1)  называются <i>близкими</i>, если каждое из них меньше чем сумма всех чисел, делённая на  <i>n</i> – 1.  Пусть  <i>a, b, c, ...   – n</i> близких чисел, <i>S</i> – их сумма. Докажите, что

  а) все они положительны;

  б)  <i>a + b > c</i>;

  в)  <i>a + b > ^S</i>/_<i>n</i>–1.

Окружность разбита на семь дуг так, что сумма каждых двух соседних дуг не превышает 103°.

Назовите такое наибольшее число <i>A</i>, что при любом таком разбиении каждая из семи дуг содержит не меньше <i>A</i>°.

По окружности записаны 30 чисел. Каждое из этих чисел равно модулю разности двух чисел, стоящих после него по часовой стрелке. Сумма всех чисел

равна 1. Найти эти числа.

В лес за грибами пошли 11 девочек и <i>n</i> мальчиков. Вместе они собрали  <i>n</i>² + 9<i>n</i> – 2  гриба, причём все они собрали поровну грибов.

Кого было больше: мальчиков или девочек?

На окружности записаны шесть чисел: каждое равно модулю разности двух чисел, стоящих после него по часовой стрелке.

Сумма всех чисел равна 1. Найти эти числа.

Докажите, что

<img align="middle" src="/storage/problem-media/98103/problem_98103_img_2.gif">

Окружность <i>S</i>₂ проходит через центр <i>O</i> окружности <i>S</i>₁ и пересекает её в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Через точку <i>A</i> проведена касательная к окружности <i>S</i>₂. Точка <i>D</i> – вторая точка пересечения этой касательной с окружностью <i>S</i>₁. Докажите, что  <i>AD = AB</i>.

Последовательность {<i>a_n</i>} определяется правилами:  <i>a</i>₀ = 9,   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/35392/problem_35392_img_2.gif">  .

Докажите, что в десятичной записи числа <i>a</i>₁₀ содержится не менее 1000 девяток.