Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 10-11 класс» для 4-10 класса - сложность 3 с решениями

Известно, что уравнение  <i>x</i>⁴ + <i>ax</i>³ + 2<i>x</i>² + <i>bx</i> + 1 = 0  имеет действительный корень. Докажите неравенство  <i>a</i>² + <i>b</i>² ≥ 8.

В вершинах квадрата сидят четыре кузнечика. Они прыгают в произвольном порядке, но не одновременно. Каждый кузнечик прыгает в такую точку, которая симметрична точке, в которой он находился до прыжка, относительно центра тяжести трёх других кузнечиков. Может ли в какой-то момент один кузнечик приземлиться на другого? (Кузнечики точечные.)

Выпуклый 1993-угольник разрезан на выпуклые семиугольники.

Докажите, что найдутся четыре соседние вершины 1993-угольника, принадлежащие одному семиугольнику.

(Вершина семиугольника не может лежать внутри стороны 1993-угольника.)