Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 8-9 класс» для 5-11 класса - сложность 3 с решениями

В квадрате клетчатой бумаги 10×10 нужно расставить один корабль 1×4, два – 1×3, три – 1×2 и четыре – 1×1. Корабли не должны иметь общих точек (даже вершин) друг с другом, но могут прилегать к границам квадрата. Докажите, что

  а) если расставлять их в указанном выше порядке (начиная с больших), то этот процесс всегда удается довести до конца, даже если в каждый момент заботиться только об очередном корабле, не думая о будущих;

  б) если расставлять их в обратном порядке (начиная с малых), то может возникнуть ситуация, когда очередной корабль поставить нельзя.

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. В точке <i>A</i> к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Прямые <i>BM</i> и <i>BN</i> пересекают окружности еще раз в точках <i>P</i> и <i>Q</i> (<i>P</i> – на прямой <i>BM, Q</i> – на прямой <i>BN</i>). Докажите, что отрезки <i>MP</i> и <i>NQ</i> равны.

В каждой целой точке числовой оси расположена лампочка с кнопкой, при нажатии которой лампочка меняет состояние – загорается или гаснет. Вначале все лампочки погашены. Задано конечное множество целых чисел – шаблон <i>S</i>. Его можно перемещать вдоль числовой оси как жесткую фигуру и, приложив в любом месте, поменять состояние множества всех лампочек, закрытых шаблоном. Докажите, что при любом <i>S</i> за несколько операций можно добиться того, что будут гореть ровно две лампочки.

Существует ли такой выпуклый пятиугольник, от которого некоторая прямая отрезает подобный ему пятиугольник?