Олимпиадные задачи из источника «17 турнир (1995/1996 год)» для 9 класса - сложность 2 с решениями
17 турнир (1995/1996 год)
НазадПод каким углом видна из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проекция на гипотенузу вписанной окружности?
Наибольший угол остроугольного треугольника в пять раз больше наименьшего.
Найдите углы этого треугольника, если известно, что все они выражаются целым числом градусов.
Заданы две непересекающиеся окружности с центрами <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub> и их общая внешняя касательная, касающаяся окружностей соответственно в точках <i>A</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>2</sub>. Пусть <i>B</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>2</sub> – точки пересечения отрезка <i>O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub> с соответствующими окружностями, а <i>C</i> – точка пересечения прямых <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub>. Докажит...
Прямоугольник <i>ABCD</i> с площадью 1 сложили по прямой так, что точка <i>C</i> совпала с <i>A</i>.
Докажите, что площадь получившегося пятиугольника меньше ¾.
<i>AK</i> – биссектриса треугольника <i>ABC, P</i> и <i>Q</i> – точки на двух других биссектрисах (или на их продолжениях) такие, что <i>PA = PK</i> и <i>QA = QK</i>.
Докажите, что ∠<i>PAQ</i> = 90° – ½ ∠<i>A</i>.
Можно ли вычеркнуть из произведения 1!·2!·3!·...·100! один из факториалов так, чтобы произведение оставшихся было квадратом целого числа?
В ряд выписаны действительные числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., <i>a</i><sub>1996</sub>. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.
Положительные числа <i>a, b, c</i> таковы, что <i>a</i>² + <i>b</i>² – <i>ab = c</i>². Докажите, что (<i>a – c</i>)(<i>b – c</i>) ≤ 0.
Рассматриваются всевозможные шестизвенные замкнутые ломаные, все вершины которых лежат на окружности.
а) Нарисуйте такую ломаную, которая имеет наибольшее возможное число точек самопересечения.
б) Докажите, что большего числа самопересечений такая ломаная не может иметь.
Последовательность определяется так: первые её члены – 1, 2, 3, 4, 5. Далее каждый следующий (начиная с 6-го) равен произведению всех предыдущих членов минус 1. Докажите, что сумма квадратов первых 70 членов последовательности равна их произведению.
Существуют ли 100 таких натуральных чисел, что их сумма равна их наименьшему общему кратному?
(Среди чисел могут быть равные.)