Олимпиадные задачи из источника «19 турнир (1997/1998 год)» для 8 класса - сложность 3-4 с решениями

a) Двое показывают карточный фокус. Первый снимает пять карт из колоды, содержащей 52 карты (предварительно перетасованной кем-то из зрителей), смотрит в них и после этого выкладывает их в ряд слева направо, причём одну из карт кладёт рубашкой вверх, а остальные – картинкой вверх. Второй участник фокуса отгадывает закрытую карту. Докажите, что они могут так договориться, что второй всегда будет угадывать карту. б) Второй фокус отличается от первого тем, что первый участник выкладывает слева направо четыре карты картинкой вверх, а одну не выкладывает. Могут ли и в этом случае участники фокуса так договориться, чтобы второй всегда угадывал невыложенную карту?

Назовём <i>лабиринтом</i> шахматную доску 8×8, где между некоторыми полями вставлены перегородки. Если ладья может обойти все поля, не перепрыгивая через перегородки, то лабиринт называется <i>хорошим</i>, иначе – <i>плохим</i>. Каких лабиринтов больше – хороших или плохих?

а) На доске выписаны числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Разрешается стереть любые два числа и вместо них выписать их разность – неотрицательное число. После семи таких операций на доске будет только одно число. Может ли оно равняться 97?

б) На доске выписаны числа 1, 2¹, 2², 2³, ..., 2¹⁰. Разрешается стереть любые два числа и вместо них выписать их разность – неотрицательное число. После нескольких таких операций на доске будет только одно число. Чему оно может быть равно?

За круглым столом сидят десять человек, перед каждым – несколько орехов. Всего орехов – сто. По общему сигналу каждый передаёт часть своих орехов соседу справа: половину, если у него (у того, кто передаёт) было чётное число, или один орех плюс половину остатка – если нечётное число. Такая операция проделывается второй раз, затем третий и так далее, до бесконечности. Докажите, что через некоторое время у всех станет по десять орехов.

Квадрат разбит прямыми на 25 квадратиков-клеток. В некоторых клетках нарисована одна из диагоналей так, что никакие две диагонали не имеют общей точки (даже общего конца). Каково наибольшее возможное число нарисованных диагоналей?

<i>CM</i> и <i>BN</i> – медианы треугольника <i>ABC, P</i> и <i>Q</i> – такие точки соответственно на <i>AB</i> и <i>AC</i>, что биссектриса угла <i>C</i> треугольника одновременно является биссектрисой угла <i>MCP</i>, а биссектриса угла <i>B</i> – биссектрисой угла <i>NBQ</i>. Оказалось, что  <i>AP = AQ</i>.  Следует ли из этого, что треугольник <i>ABC</i> равнобедренный?

Каждая сторона правильного треугольника разбита на <i>n</i> равных отрезков, и через все точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. Данный треугольник разбился на <i>n</i>² маленьких треугольников-клеток. Треугольники, расположенные между двумя соседними параллельными прямыми, образуют полоску.

  а) Какое наибольшее число клеток можно отметить, чтобы никакие две отмеченные клетки не принадлежали одной полоске ни по одному из трёх направлений, если  <i>n</i> = 10?

  б) Тот же вопрос для  <i>n</i> = 9.

Дима придумал секретный шифр: каждая буква заменяется на слово длиной не больше 10 букв. Шифр называется <i>хорошим</i>, если всякое зашифрованное слово расшифровывается однозначно. Серёжа убедился (с помощью компьютера), что если зашифровать слово длиной не больше 10000 букв, то результат расшифровывается однозначно. Следует ли из этого, что шифр хороший? (В алфавите 33 буквы, под "словом" мы понимаем любую последовательность букв, независимо от того, имеет ли она смысл.)