Олимпиадные задачи из источника «20 турнир (1998/1999 год)» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями

Для каждого целого неотрицательного числа <i>i</i> определим число <i>M</i>(<i>i</i>) следующим образом: запишем число <i>i</i> в двоичной форме; если число единиц в этой записи чётно, то <i>M</i>(<i>i</i>) = 0, а если нечётно – то 1 (первые члены этой последовательности: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, ... ).

  а) Рассмотрим конечную последовательность  <i>M</i>(0), <i>M</i>(1), ... , <i>M</i>(1000).  Докажите, что число членов этой последовательности, равных своему правому соседу, не меньше 320.

  б) Рассмотрим конечную последовательность  <i>M</i>(0), <i>M</i>(1), ..., <i>M</i>(1000000).  Докажите, что число таких членов последовательности, что  &...

2<i>n</i> радиусов разделили круг на 2<i>n</i> равных секторов: <i>n</i> синих и <i>n</i> красных, чередующихся в произвольном порядке. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до <i>n</i>. В красные сектора, начиная с некоторого, записывают те же числа, но по ходу часовой стрелки. Докажите, что найдётся полукруг, в котором записаны все числа от 1 до <i>n</i>.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность с центром <i>O</i>. Описанные окружности треугольников <i>ABO</i> и <i>CDO</i>, пересеклись второй раз в точке <i>F</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>AFD</i> проходит через точку <i>E</i> пересечения отрезков <i>AC</i> и <i>BD</i>.

В море плавает предмет, имеющий форму выпуклого многогранника.

Может ли случиться, что 90% его объёма находится ниже уровня воды и при этом больше половины его поверхности находится выше уровня воды?

Будем называть "размером" прямоугольного параллелепипеда сумму трёх его измерений – длины, ширины и высоты.

Может ли случиться, что в некотором прямоугольном параллелепипеде поместился больший по размеру прямоугольный параллелепипед?

<i>n</i> бумажных кругов радиуса 1 уложены на плоскость таким образом, что их границы проходят через одну точку, причём эта точка находится внутри области, покрытой кругами. Эта область представляет собой многоугольник с криволинейными сторонами. Найдите его периметр. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/98412/problem_98412_img_2.gif"></div>

Имеется 19 гирек весов 1, 2, 3, ..., 19 г: девять железных, девять бронзовых и одна золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше общего веса бронзовых. Найдите вес золотой гирьки.

Назовём <i>крокодилом</i> шахматную фигуру, ход которой заключается в прыжке на <i>m</i> клеток по вертикали или по горизонтали, и потом на <i>n</i> клеток в перпендикулярном направлении. Докажите что для любых <i>m</i> и <i>n</i> можно так раскрасить бесконечную клетчатую доску в два цвета (для каждых конкретных <i>m</i> и <i>n</i> своя раскраска), что каждые две клетки, соединённые одним ходом крокодила, будут покрашены в разные цвета.

Куб со стороной 20 разбит на 8000 единичных кубиков, и в каждом кубике записано число. Известно, что в каждом столбике из 20 кубиков, параллельном ребру куба, сумма чисел равна 1 (рассматриваются столбики всех трёх направлений). В некотором кубике записано число 10. Через этот кубик проходит три <i>слоя</i> 1×20×20, параллельных граням куба. Найдите сумму всех чисел вне этих слоёв.