Олимпиадные задачи из источника «21 турнир (1999/2000 год)» для 11 класса - сложность 3-5 с решениями

Найдите максимальное число <i>N</i>, для которого существуют такие <i>N</i> последовательных натуральных чисел, что сумма цифр первого числа делится на 1, сумма цифр второго числа – на 2, сумма цифр третьего числа – на 3, ..., сумма цифр <i>N</i>-го числа – на <i>N</i>.

В однокруговом шахматном турнире назовём партию <i>неправильной</i>, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше, чем проигравший.

Докажите, что неправильные партии составляют меньше ¾ общего числа партий в турнире.

На большой шахматной доске отметили 2<i>n</i> клеток так, что ладья может ходить по всем отмеченным клеткам, не перепрыгивая через неотмеченные.

Докажите, что фигуру из отмеченных клеток можно разрезать на <i>n</i> прямоугольников.

а) 100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть равновесие.

Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что равновесие не нарушится. б) Рассмотрим такие <i>n</i>, что набор гирь 1, 2, ... , <i>n</i> г можно разделить на две части, равные по весу.

Верно ли, что для любого такого <i>n</i>, большего 3, можно убрать по две гирьки из каждой части так, что равенство весов сохранится?

Внутри прямоугольного листа бумаги вырезали <i>n</i> прямоугольных дыр со сторонами, параллельными краям листа. На какое наименьшее число прямоугольных частей можно гарантированно разрезать этот дырявый лист? (Дыры не перекрываются и не соприкасаются.)