Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс» для 2-9 класса

Сколькими способами можно расставить числа от 1 до 100 в прямоугольнике 2×50 так, чтобы каждые два числа, различающиеся на 1, всегда попадали бы в клетки с общей стороной?

Есть шесть кусков сыра разного веса. Известно, что можно разложить сыр на две кучки по три куска так, чтобы кучки весили поровну.

Как можно сделать это за два взвешивания на чашечных весах без гирь, если про любые два куска на глаз видно, какой весит больше?

Из бумаги вырезали два одинаковых треугольника <i>ABC</i> и <i>A'B'C'</i> и положили их на стол, перевернув при этом один из треугольников.

Докажите, что середины отрезков <i>AA', BB'</i> и <i>CC'</i> лежат на одной прямой.

Для натуральных чисел <i>x</i> и <i>y</i> число  <i>x</i>² + <i>xy + y</i>²  в десятичной записи оканчивается нулем. Докажите, что оно оканчивается хотя бы двумя нулями.