Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 10-11 класс» для 3-10 класса - сложность 2-4 с решениями

Дан треугольник <i>ABC</i>. В нём <i>H</i> – точка пересечения высот, <i>I</i> – центр вписанной окружности, <i>O</i> – центр описанной окружности, <i>K</i> – точка касания вписанной окружности со стороной <i>BC</i>. Известно, что отрезки  <i>IO || BC</i>.  Докажите, что отрезки  <i>AO || HK</i>.

а) В таблице <i>m</i>×<i>n</i> расставлены знаки "+" и "–". За один ход разрешается поменять знаки на противоположные в любой строке или столбце. Докажите, что если таблица такими действиями не приводится к таблице из одних плюсов, то в ней есть квадрат 2×2, который тоже не приводится.б) В таблице <i>m</i>×<i>n</i> расставлены знаки "+" и "–". За один ход разрешается поменять знаки на противоположные в любой строке или столбце или на любой диагонали (угловые клетки тоже считаются диагоналями). Докажите, что если таблица такими действиями не приводится к таблице из одних плюсов, то в ней есть квадрат 4×4, который тоже не приводится.

У тетраэдра <i>ABCD</i> сумма площадей двух граней (с общим ребром <i>AB</i>) равна сумме площадей оставшихся граней (с общим ребром <i>CD</i>). Докажите, что середины рёбер <i>BC, AD, AC</i> и <i>BD</i> лежат в одной плоскости, причём эта плоскость содержит центр сферы, вписанной в тетраэдр <i>ABCD</i>.

Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде  3^<i>u</i>₁2^<i>v</i>₁ + 3^<i>u</i>₂2^<i>v</i>₂ + ... + 3^<i>u_k</i>2^<i>v_k</i>,  где  <i>u</i>₁ > <i>u</i>₂ > ... > <i>u_k</i> ≥ 0  и  0 ≤ <i>v</i>₁ < <i>v</i>₂ < ... < <i>v<sub>k</sub&g...

Играют двое. У первого 1000 чётных карточек (2, 4, ..., 2000), у второго – 1001 нечётная (1, 3, ... , 2001). Ходят по очереди, начинает первый. Ход состоит в следующем: игрок, чья очередь ходить, выкладывает одну из своих карточек, а другой, посмотрев на неё, выкладывает одну из своих карточек; тот, у кого число на карточке больше, записывает себе одно очко, а обе выложенные карточки выбрасываются. Всего получается 1000 ходов (одна карточка второго не используется). Какое наибольшее число очков может гарантировать себе каждый из игроков (как бы ни играл его соперник)?

Дана коробка (прямоугольный параллелепипед), по поверхности (но не внутри) которой ползает муравей. Изначально муравей сидит в углу. Верно ли, что среди всех точек поверхности на наибольшем расстоянии от муравья находится противоположный угол? (Расстоянием между двумя точками считаем длину соединяющего их кратчайшего пути <i>по поверхности параллелепипеда</i>.)

Имеется несколько юношей, каждый из которых знаком с некоторыми девушками. Две свахи знают, кто с кем знаком. Одна сваха заявляет: "Я могу одновременно поженить всех брюнетов так, чтобы каждый из них женился на знакомой ему девушке!" Вторая сваха говорит: "А я могу устроить судьбу всех блондинок: каждая выйдет замуж за знакомого юношу!" Этот диалог услышал любитель математики, который сказал: "В таком случае можно сделать и то, и другое!" Прав ли он?