Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 10-11 класс» для 2-9 класса - сложность 1-5 с решениями
осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
НазадУглы <i>AOB</i> и <i>COD</i> совмещаются поворотом так, что луч <i>OA</i> совмещается с лучом <i>OC</i>, а луч <i>OB</i> – с <i>OD</i>. В них вписаны окружности, пересекающиеся в точках <i>E</i> и <i>F</i>. Доказать, что углы <i>AOE</i> и <i>DOF</i> равны.
Дано простое число <i>p</i>. Назовём треугольник <i>разрешённым</i>, если все его углы имеют вид <sup><i>m</i></sup>/<sub><i>p</i></sub>·180°, где <i>m</i> целое. Одинаковыми будем считать разрешённые треугольники с одинаковым набором углов (то есть подобные). Вначале дан один разрешённый треугольник. Каждую минуту один из имеющихся треугольников разрезают на два разрешённых так, чтобы после разрезания все имеющиеся треугольники были разными. Спустя некоторое время оказалось, что ни один из треугольников так разрезать нельзя. Докажите, что к этому моменту среди имеющихся частей есть все возможные разрешённые треугольники.
Окружность с центром <i>I</i> лежит внутри окружности с центром <i>O</i>. Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников <i>IAB</i>, где <i>AB</i> – хорда большей окружности, касающаяся меньшей.
Двое играют в следующую игру. Есть кучка камней. Первый каждым своим ходом берет 1 или 10 камней. Второй каждым своим ходом берёт <i>m</i> или <i>n</i> камней. Ходят по очереди, начинает первый. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Известно, что при любом начальном количестве камней первый всегда может играть так, чтобы выиграть (при любой игре второго). Какими могут быть <i>m</i> и <i>n</i>?
Пусть <i>A</i> и <i>B</i> – два прямоугольника. Из прямоугольников, равных <i>A</i>, сложили прямоугольник, подобный <i>B</i>.
Докажите, что из прямоугольников, равных <i>B</i>, можно сложить прямоугольник, подобный <i>A</i>.
Ваня задумал два положительных числа <i>x</i> и <i>y</i>. Он записал числа <i>x + y, x – y, xy</i> и <i><sup>x</sup></i>/<sub><i>y</i></sub> и показал их Пете, но не сказал, какое число какой операцией получено. Докажите, что Петя сможет однозначно восстановить <i>x</i> и <i>y</i>.