Олимпиадные задачи из источника «32 турнир (2010/2011 год)» для 10 класса

Две фирмы по очереди нанимают программистов, среди которых есть 11 гениев. Первого программиста каждая фирма выбирает произвольно, а каждый следующий должен быть знаком с кем-то из ранее нанятых данной фирмой. Если фирма не может нанять программиста по этим правилам, она прекращает приём, а другая может продолжать. Список программистов и их знакомств заранее известен, включая информацию о том, кто гении. Могут ли знакомства быть устроены так, что фирма, вступающая в игру второй, сможет нанять 10 гениев, как бы ни действовала первая фирма?

Боковые стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> трапеции <i>ABCD</i> являются соответственно хордами окружностей ω₁ и ω₂, касающихся друг друга внешним образом. Градусные меры касающихся дуг <i>AB</i> и <i>CD</i> равны α и β. Окружности ω₃ и ω₄ также имеют хорды <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно. Их дуги <i>AB</i> и <i>CD</i>, расположенные с той же стороны от хорд, что соответствующие дуги первых двух окружностей, имеют градусные меры β и α. Докажите, что ω₃ и ω₄ тоже касаются.

Даны <i>N</i> синих и <i>N</i> красных палочек, причём сумма длин синих палочек равна сумме длин красных. Известно, что из синих палочек можно сложить <i>N</i>-угольник, и из красных – тоже. Всегда ли можно выбрать одну синюю и одну красную палочки и перекрасить их (синюю – в красный цвет, а красную – в синий) так, что снова из синих палочек можно будет сложить <i>N</i>-угольник, и из красных – тоже? Решите задачу

  а) для  <i>N</i> = 3;

  б) для произвольного натурального  <i>N</i> > 3.

От балки в форме треугольной призмы с двух сторон отпилили (плоской пилой) по куску. Спилы не задели ни оснований, ни друг друга.

  а) Могут ли спилы быть подобными, но не равными треугольниками?

  б) Может ли один спил быть равносторонним треугольником со стороной 1, а другой – равносторонним треугольником со стороной 2?

В пространстве с декартовой системой координат дан прямоугольный параллелепипед, вершины которого имеют целочисленные координаты. Его объём равен 2011. Докажите, что рёбра параллелепипеда параллельны координатным осям.

У барона Мюнхгаузена есть 50 гирь. Веса этих гирь – различные натуральные числа, не превосходящие 100, а суммарный вес гирь – чётное число. Барон утверждает, что нельзя часть этих гирь положить на одну чашу весов, а остальные – на другую чашу так, чтобы весы оказались в равновесии. Могут ли эти слова барона быть правдой?

В стране 100 городов и несколько дорог. Каждая дорога соединяет два каких-то города, дороги не пересекаются. Из каждого города можно добраться до любого другого, двигаясь по дорогам. Докажите, что можно объявить несколько дорог главными так, чтобы из каждого города выходило нечётное число главных дорог.

Четыре перпендикуляра, опущенные из вершин выпуклого пятиугольника на противоположные стороны, пересекаются в одной точке.

Докажите, что пятый такой перпендикуляр тоже проходит через эту точку.

По кругу лежат 100 белых камней. Дано целое число <i>k</i> в пределах от 1 до 50. За ход разрешается выбрать любые <i>k</i> подряд идущих камней, первый и последний из которых белые, и покрасить первый и последний камни в чёрный цвет. При каких <i>k</i> можно за несколько таких ходов покрасить все 100 камней в чёрный цвет?

Грани выпуклого многогранника – подобные треугольники.

Докажите, что многогранник имеет две пары равных граней (одну пару равных граней и еще одну пару равных граней).

Длина взрослого червяка 1 метр. Если червяк взрослый, его можно разрезать на две части в любом отношении длин. При этом получаются два новых червяка, которые сразу начинают расти со скоростью 1 метр в час каждый. Когда длина червяка достигает метра, он становится взрослым и прекращает расти. Можно ли из одного взрослого червяка получить 10 взрослых червяков быстрее чем за час?

Квадрат <i>ABCD</i> разрезан на одинаковые прямоугольники с целыми длинами сторон. Фигура <i>F</i> является объединением всех прямоугольников, имеющих общие точки с диагональю <i>AC</i>. Докажите, что <i>AC</i> делит площадь фигуры <i>F</i> пополам.

В каждой клетке таблицы 1000×1000 стоит ноль или единица. Докажите, что можно либо вычеркнуть 990 строк так, что каждом столбце будет хотя бы одна невычеркнутая единица, либо вычеркнуть 990 столбцов так, что в каждой строке будет хотя бы один невычеркнутый ноль.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность с центром <i>O</i>, причём точка <i>O</i> не лежит ни на одной из диагоналей этого четырёхугольника. Известно, что центр описанной окружности треугольника <i>AOC</i> лежит на прямой <i>BD</i>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>BOD</i> лежит на прямой <i>AC</i>.

Два мага сражаются друг с другом. Вначале они оба парят над морем на высоте 100 метров. Маги по очереди применяют заклинания вида "уменьшить высоту парения над морем на <i>a</i> метров у себя и на <i>b</i> метров у соперника", где <i>a, b</i> – действительные числа,  0 < <i>a</i> < <i>b</i>.  Набор заклинаний у магов один и тот же, их можно использовать в любом порядке и неоднократно. Маг выигрывает дуэль, если после чьего-либо хода его высота над морем будет положительна, а у соперника – нет. Существует ли такой набор заклинаний, что второй маг может гарантированно выиграть (как бы ни действовал первый), если при этом число заклинаний в наборе

  а) конечно;  б) бесконечно?

Имеется многоугольник. Для каждой стороны поделим её длину на сумму длин всех остальных сторон. Затем сложим все получившиеся дроби. Докажите, что полученная сумма меньше 2.

На кольцевом треке 2<i>n</i> велосипедистов стартовали одновременно из одной точки и поехали с постоянными различными скоростями (в одну сторону). Если после старта два велосипедиста снова оказываются одновременно в одной точке, назовём это встречей. До полудня каждые два велосипедиста встретились хотя бы раз, при этом никакие три или больше не встречались одновременно. Докажите, что до полудня у каждого велосипедиста было не менее <i>n</i>² встреч.

В некой стране 100 городов (города считайте точками на плоскости). В справочнике для каждой пары городов имеется запись, каково расстояние между ними (всего 4950 записей).   а) Одна запись стёрлась. Всегда ли можно однозначно восстановить её по остальным?   б) Пусть стёрлись <i>k</i> записей, и известно, что в этой стране никакие три города не лежат на одной прямой. При каком наибольшем <i>k</i> всегда можно однозначно восстановить стёршиеся записи?

За круглым столом заседают <i>N</i> рыцарей. Каждое утро чародей Мерлин сажает их в другом порядке. Начиная со второго дня Мерлин разрешил рыцарям делать в течение дня сколько угодно пересадок такого вида: два сидящих рядом рыцаря меняются местами, если только они не были соседями в первый день. Рыцари стараются сесть в том же порядке, что и в какой-нибудь из предыдущих дней: тогда заседания прекратятся. Какое наибольшее число дней Мерлин гарантированно может проводить заседания?

(Рассадки, получающиеся друг из друга поворотом, считаются одинаковыми. Мерлин за столом не сидит.)

55 боксёров участвовали в турнире по системе "проигравший выбывает". Бои шли последовательно. Известно, что у участников каждого боя число предыдущих побед отличалось не более чем на 1. Какое наибольшее число боёв мог провести победитель турнира?

Квадратная доска разделена на <i>n</i>² прямоугольных клеток  <i>n</i> – 1  горизонтальными и  <i>n</i> – 1  вертикальными прямыми. Клетки раскрашены в шахматном порядке. Известно, что на одной диагонали все <i>n</i> клеток чёрные и квадратные. Докажите, что общая площадь всех чёрных клеток доски не меньше общей площади белых.

Полицейский участок расположен на прямой дороге, бесконечной в обе стороны. Некто угнал старую полицейскую машину, максимальная скорость которой составляет 90% от максимальной скорости новой машины. В некоторый момент в участке спохватились и послали вдогонку полицейского на новой полицейской машине. Однако вот беда: полицейский не знал, ни когда машина была угнана, ни в каком направлении вдоль дороги уехал угонщик. Сможет ли полицейский поймать угонщика?

Диагонали выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> перпендикулярны и пересекаются в точке <i>O</i>. Известно, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники <i>AOB</i> и <i>COD</i>, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники <i>BOC</i> и <i>DOA</i>. Докажите, что

  а) четырёхугольник <i>ABCD</i> – описанный;

  б) четырёхугольник <i>ABCD</i> симметричен относительно одной из своих диагоналей.

Банкомат обменивает монеты: дублоны на пистоли и наоборот. Пистоль стоит <i>s</i> дублонов, а дублон – ¹/<i>_s</i> пистолей, где <i>s</i> не обязательно целое. В банкомат можно вбросить любое число монет одного вида, после чего он выдаст в обмен монеты другого вида, округляя результат до ближайшего целого числа (если ближайших чисел два, выбирается большее).   а) Может ли так быть, что обменяв сколько-то дублонов на пистоли, а затем обменяв полученные пистоли на дублоны, мы получим больше дублонов, чем было вначале?   б) Если да, то может ли случиться, что полученное число дублонов ещё увеличится, если проделать с ними такую же операцию?