Олимпиадные задачи из источника «4 турнир (1982/1983 год)» для 7-11 класса - сложность 2 с решениями

На сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>P</i>, <i>M</i> и <i>K</i> так, что отрезки <i>AM</i>, <i>BK</i> и <i>CP</i> пересекаются в одной точке и   <img src="/storage/problem-media/108604/problem_108604_img_2.gif">   Докажите, что <i>P</i>, <i>M</i> и <i>K</i> – середины сторон треугольника <i>ABC</i>.

Бильярд имеет форму прямоугольного треугольника, один из острых углов которого равен 30°. Из этого угла по медиане противоположной стороны выпущен шар (материальная точка). Доказать, что после восьми отражений (угол падения равен углу отражения) он попадёт в лузу, находящуюся в вершине угла 60°.

Натуральные числа <i>M</i> и <i>K</i> отличаются перестановкой цифр.

Доказать, что

  а) сумма цифр числа 2<i>M</i> равна сумме цифр числа 2<i>K</i>;

  б) сумма цифр числа ^<i>M</i>/₂  равна сумме цифр числа ^<i>K</i>/₂  (если <i>M</i> и <i>K</i> чётны);

  в) сумма цифр числа 5<i>M</i> равна сумме цифр числа 5<i>K</i>.

Существует ли многогранник (не обязательно выпуклый), полных список рёбер которого имеет вид: <i>AB, AC, BC, BD, CD, DE, EF, EG, FG, FH, GH, AH</i> (на рисунке приведена схема соединения рёбер)? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/97791/problem_97791_img_2.gif"></div>

Доказать, что уравнение  <i>m</i>!·<i>n</i>! = <i>k</i>!  имеет бесконечно много таких решений, что <i>m, n</i> и <i>k</i> – натуральные числа, большие единицы.

Несколько фишек двух цветов расположены в ряд (встречаются оба цвета). Известно, что фишки, между которыми 10 или 15 фишек, одинаковы.

Какое наибольшее число фишек может быть?