Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, 9-10 класс» - сложность 3-4 с решениями

Около остроугольного треугольника <i>ABC</i> описана окружность с центром <i>O</i>. Перпендикуляры, опущенные из точки <i>O</i> на стороны треугольника, продолжены до пересечения с окружностью в точках <i>K</i>, <i>M</i> и <i>P</i>. Докажите, что   <img src="/storage/problem-media/108605/problem_108605_img_2.gif">   где <i>Q</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

На бесконечной во все стороны шахматной доске выделено некоторое множество клеток <i>A</i>. На всех клетках доски, кроме множества <i>A</i>, стоят короли. Все короли могут по команде одновременно сделать ход, заключающийся в том, что король либо остаётся на месте, либо занимает соседнее поле, то есть делает "ход короля". При этом он может занять и то поле, с которого сходит другой король, но в результате хода двум королям оказаться в одной клетке запрещается. Существует ли такое <i>k</i> и такой способ движения королей, что после <i>k</i> ходов вся доска будет заполнена королями? Рассмотрите варианты:

  а) <i>A</i> есть множество всех клеток, у которых обе координаты кратны 100 (предполагается, что одна горизонтальная...

<i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ...  – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что  <i>a_{a_k}</i> = 3<i>k</i>  для любого <i>k</i>.

Найти   а)  <i>a</i>₁₀₀;   б)  <i>a</i>₁₉₈₃.