Олимпиадные задачи из источника «5 турнир (1983/1984 год)» для 11 класса - сложность 3 с решениями
Из вершин основания тетраэдра в боковых гранях провели высоты, а затем в каждой из боковых граней основания двух лежащих в ней высот соединили прямой. Докажите, что эти три прямые параллельны одной плоскости.
<i>F</i>(<i>x</i>) – возрастающая функция, определённая на отрезке [0, 1]. Известно, что область её значений принадлежит отрезку [0, 1]. Доказать, что, каково бы ни было натуральное <i>n</i>, график функции можно покрыть <i>N</i> прямоугольниками, стороны которых параллельны осям координат так, что площадь каждого равна <sup>1</sup>/<sub><i>n</i>²</sub>. (В прямоугольник мы включаем его внутренние точки и точки его границы.)