Олимпиадные задачи из источника «08 (1985)» для 9-10 класса - сложность 2-3 с решениями

Определить наибольшее значение отношения трёхзначного числа к числу, равному сумме цифр этого числа.

Вершины параллелограмма <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ лежат на сторонах параллелограмма <i>ABCD</i> (точка <i>A</i>₁ лежит на стороне <i>AB</i>, точка <i>B</i>₁ – на стороне <i>BC</i> и т. д.).

Докажите, что центры обоих параллелограммов совпадают.

Между соседними лагерями 1 день пути. Экспедиции требуется перенести 1 банку консервов в лагерь, находящийся в 5 днях пути от базового и вернуться обратно. При этом: — каждый член экспедиции может нести с собой не более 3 банок консервов; — за 1 день он съедает 1 банку консервов; — оставлять консервы можно только в лагерях.Какое наименьшее количество банок консервов придется взять из базового лагеря для этой цели?

В классе 25 человек. Известно, что среди любых трех из них есть двое друзей. Докажите, что есть ученик, у которого не менее 12 друзей.

В классе каждый мальчик дружит ровно с двумядевочками, а каждая девочка — ровно с тремя мальчиками. Еще известно, что в классе 31 пионер и 19 парт. Сколько человек в этом классе?

Передние покрышки автомобиля "Антилопа Гну" выходят из строя через 25000 км, а задние – через 15000 км. Когда О. Бендер должен поменять их местами, чтобы машина прошла максимальное расстояние? Чему равно это расстояние?

Было семь ящиков. В некоторые из них положили еще по семь ящиков (не вложенных друг в друга) и т. д. В итоге стало 10 непустых ящиков.

Сколько всего стало ящиков?

Какое наименьшее число карточек спортлото (6 из 49) надо купить, чтобы наверняка хоть в одной из них был угадан хоть один номер?

На столе стоят 16 стаканов. Из них 15 стаканов стоят правильно, а один перевёрнут донышком вверх. Разрешается одновременно переворачивать любые четыре стакана. Можно ли, повторяя эту операцию, поставить все стаканы правильно?