Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» для 1-9 класса - сложность 2 с решениями

Три прямоугольных треугольника расположены в одной полуплоскости относительно данной прямой <i>l</i> так, что один из катетов каждого треугольника лежит на этой прямой. Известно, что существует прямая, параллельная <i>l</i>, пересекающая треугольники по равным отрезкам. Докажите, что если расположить треугольники в одной полуплоскости относительно прямой <i>l</i> так, чтобы другие их катеты лежали на прямой <i>l</i>, то также найдётся прямая, параллельная <i> l </i>, пересекающая их по равным отрезкам.

Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, кратное 11.

Докажите, что для любых действительных чисел <i>a</i> и <i>b</i> справедливо неравенство  <i>a</i>² + <i>ab + b</i>² ≥ 3(<i>a + b</i> – 1).

На доске написано:  <i>x</i>³ + ...<i>x</i>² + ...<i>x</i> + ... = 0.  Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?

Найдите все натуральные числа <i>n</i>, для которых сумма цифр числа 5<i>ⁿ</i> равна 2<i>ⁿ</i>.