Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 6-9 класса - сложность 2-3 с решениями
В классе 33 человека. У каждого ученика спросили, сколько у него в классе тезок и сколько однофамильцев (включая родственников). Оказалось, что среди названных чисел встретились все целые от 0 до 10 включительно. Докажите, что в классе есть два ученика с одинаковыми именем и фамилией.
Существуют ли такие действительные числа <i>b</i> и <i>c</i>, что каждое из уравнений <i>x</i>² + <i>bx + c</i> = 0 и 2<i>x</i>² + (<i>b</i> + 1)<i>x + c</i> + 1 = 0 имеет по два целых корня?
Переаттестация Совета Мудрецов происходит так: король выстраивает их в колонну по одному и надевает каждому колпак белого или чёрного цветов. Все мудрецы видят цвета всех колпаков впереди стоящих мудрецов, а цвет своего и всех стоящих сзади не видят. Раз в минуту один из мудрецов должен выкрикнуть один из двух цветов (каждый мудрец выкрикивает цвет один раз). После окончания этого процесса король казнит каждого мудреца, выкрикнувшего цвет, отличный от цвета его колпака. Накануне переаттестации все сто членов Совета Мудрецов договорились и придумали, как минимизировать число казнённых. Скольким из них гарантированно удастся избежать казни?
Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с основанием <i>a</i>×<i>b</i> и высотой <i>c</i> (<i>a, b</i> и <i>c</i> – натуральные числа) оклеена по клеточкам без наложений и пропусков прямоугольниками со сторонами, параллельными рёбрам параллелепипеда, каждый из которых состоит из чётного числа единичных квадратов. При этом разрешается перегибать прямоугольники через боковые ребра параллелепипеда. Докажите, что если <i>c</i> нечётно, то число способов оклейки чётно.
Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) – квадратный трёхчлен с неотрицательными коэффициентами.
Докажите, что для любых действительных чисел <i>x</i> и <i>y</i> справедливо неравенство (<i>P</i>(<i>xy</i>))² ≤ <i>P</i>(<i>x</i>²)<i>P</i>(<i>y</i>²).
Существуют ли два квадратных трёхчлена <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> и (<i>a</i> + 1)<i>x</i>² + (<i>b</i> + 1)<i>x</i> + (<i>c</i> + 1) с целыми коэффициентами, каждый из которых имеет по два целых корня?
Две окружности пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Через точку <i>A</i> проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке <i>C</i>, а вторую – в точке <i>D</i>. Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – середины дуг <i>BC</i> и <i>BD</i>, не содержащих точку <i>A</i>, а <i>K</i> – середина отрезка <i>CD</i>. Докажите, что угол <i>MKN</i> прямой. (Можно считать, что точки <i>C</i> и <i>D</i> лежат по разные стороны от точки <i>A</i>.)
Решите в целых числах уравнение (<i>x</i>² – <i>y</i>²)² = 1 + 16<i>y</i>.
Даны многоугольник, прямая <i>l</i> и точка <i>P</i> на прямой <i>l</i> в общем положении (то есть все прямые, содержащие стороны многоугольника, пересекают <i>l</i> в различных точках, отличных от <i>P</i>). Отметим те вершины многоугольника, для каждой из которых прямые, на которых лежат выходящие из неё стороны многоугольника, пересекают <i>l</i> по разные стороны от точки <i>P</i>. Докажите, что точка <i>P</i> лежит внутри многоугольника тогда и только тогда, когда по каждую сторону от <i>l</i> отмечено нечётное число вершин.
Рассматриваются всевозможные квадратные трёхчлены вида <i>x</i>² + <i>px + q</i>, где <i>p, q</i> – целые, 1 ≤ <i>p</i> ≤ 1997, 1 ≤ <i>q</i> ≤ 1997.
Каких трёхчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?
Переаттестация Совета Мудрецов происходит так: король выстраивает их в колонну по одному и надевает каждому колпак белого, синего или красного цветов. Все мудрецы видят цвета всех колпаков впереди стоящих мудрецов, а цвет своего и всех стоящих сзади не видят. Раз в минуту один из мудрецов должен выкрикнуть один из трёх цветов (каждый мудрец выкрикивает цвет один раз).
После окончания этого процесса король казнит каждого мудреца, выкрикнувшего цвет, отличный от цвета его колпака.
Накануне переаттестации все сто членов Совета Мудрецов договорились и придумали, как минимизировать число казненных. Скольким из них гарантированно удастся избежать казни?
Окружность с центром <i>O</i>, вписанная в треугольник <i>ABC</i>, касается сторон <i>AC, AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>K, M</i> и <i>N</i> соответственно. Медиана <i>BB</i><sub>1</sub> треугольника пересекает <i>MN</i> в точке <i>D</i>. Докажите, что точка <i>O</i> лежит на прямой <i>DK</i>.
Окружность, вписанная в треугольник<i> ABC </i>касается его сторон<i> AB </i>,<i> BC </i>и<i> CA </i>в точках<i> M </i>,<i> N </i>и<i> K </i>соответственно. Прямая, проходящая через вершину<i> A </i>и параллельная<i> NK </i>, пересекает прямую<i> MN </i>в точке<i> D </i>. Прямая, проходящая через вершину<i> A </i>и параллельная<i> MN </i>, пересекает прямую<i> NK </i>в точке<i> E </i>. Докажите, что прямая<i> DE </i>содержит среднюю линию треугольника<i> ABC </i>.