Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 10-11 класса - сложность 2-3 с решениями
Угол, образованный лучами <i>y = x</i> и <i>y</i> = 2<i>x</i> при <i>x</i> ≥ 0, высекает на параболе <i>y = x</i>² + <i>px + q</i> две дуги. Эти дуги спроектированы на ось <i>Ox</i>. Докажите, что проекция левой дуги на 1 короче проекции правой.
На множестве действительных чисел задана операция<i> * </i>, которая каждым двум числам<i> a </i>и<i> b </i>ставит в соответствие число<i> ab </i>. Известно, что равенство(<i>ab</i>)<i>c=a+b+c </i>выполняется для любых трех чисел<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>. Докажите, что<i> ab=a+b </i>.
Часть подмножеств некоторого конечного множества выделена. Каждое выделенное подмножество состоит в точности из2<i>k </i>элементов (<i> k </i>– фиксированное натуральное число). Известно, что в каждом подмножестве, состоящем не более чем из(<i>k+</i>1)<i><sup>2</sup> </i>элементов, либо не содержится ни одного выделенного подмножества, либо все в нем содержащиеся выделенные подмножества имеют общий элемент. Докажите, что все выделенные подмножества имеют общий элемент.
Прямые, параллельные оси <i>Ox</i>, пересекают график функции <i>y = ax</i>³ + <i>bx</i>² + <i>cx + d</i>: первая – в точках <i>A, D</i> и <i>E</i>, вторая – в точках <i>B, C</i> и <i>F</i> (см. рис.). Докажите, что длина проекции дуги <i>CD</i> на ось <i>Ox</i> равна сумме длин проекций дуг <i>AB</i> и <i>EF</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109668/problem_109668_img_2.gif"></div>
Внутри параболы <i>y = x</i>² расположены несовпадающие окружности ω<sub>1</sub>, ω<sub>2</sub>, ω<sub>3</sub>, ... так, что при каждом <i>n</i> > 1 окружность ω<sub><i>n</i></sub> касается ветвей параболы и внешним образом окружности ω<sub><i>n</i>–1</sub> (см. рис.). Найдите радиус окружности σ<sub>1998</sub>, если известно, что диаметр ω<sub>1</sub> равен 1 и она касается параболы в её вершине. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109664/problem_109664_img_2.gif"></div>
Окружность, вписанная в треугольник <i>ABC</i>, касается сторон <i>BC, CA, AB</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> соответственно. Точки <i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>2</sub>, <i>C</i><sub>2</sub> – середины дуг <i>BAC, CBA, ACB</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что прямые <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> и <i>C</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>2<...