Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 9 класса - сложность 3 с решениями
На доске написаны два различных натуральных числа <i>a</i> и <i>b</i>. Меньшее из них стирают, и вместо него пишут число <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109683/problem_109683_img_2.gif"> (которое может уже оказаться нецелым). С полученной парой чисел делают ту же операцию и т.д. Докажите, что в некоторый момент на доске окажутся два равных натуральных числа.
В треугольнике <i>ABC</i> (<i>AB > BC</i>) проведены медиана <i>BM</i> и биссектриса <i>BL</i>. Прямая, проходящая через точку <i>M</i> параллельно <i>AB</i>, пересекает <i>BL</i> в точке <i>D</i>, а прямая, проходящая через <i>L</i> параллельно <i>BC</i>, пересекает <i>BM</i> в точке <i>E</i>. Докажите, что прямые <i>ED</i> и <i>BL</i> перпендикулярны.
На столе лежат пять часов со стрелками. Разрешается любые несколько из них перевести вперёд. Для каждых часов время, на которое при этом их перевели, назовём <i>временем перевода</i>. Требуется все часы установить так, чтобы они показывали одинаковое время. За какое наименьшее суммарное время перевода это можно гарантированно сделать?
Выпуклый многоугольник разбит на параллелограммы. Вершину многоугольника, принадлежащую только одному параллелограмму, назовем хорошей. Докажите, что хороших вершин не менее трех.
На множестве действительных чисел задана операция<i> * </i>, которая каждым двум числам<i> a </i>и<i> b </i>ставит в соответствие число<i> ab </i>. Известно, что равенство(<i>ab</i>)<i>c=a+b+c </i>выполняется для любых трех чисел<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>. Докажите, что<i> ab=a+b </i>.
Часть подмножеств некоторого конечного множества выделена. Каждое выделенное подмножество состоит в точности из2<i>k </i>элементов (<i> k </i>– фиксированное натуральное число). Известно, что в каждом подмножестве, состоящем не более чем из(<i>k+</i>1)<i><sup>2</sup> </i>элементов, либо не содержится ни одного выделенного подмножества, либо все в нем содержащиеся выделенные подмножества имеют общий элемент. Докажите, что все выделенные подмножества имеют общий элемент.
Прямые, параллельные оси <i>Ox</i>, пересекают график функции <i>y = ax</i>³ + <i>bx</i>² + <i>cx + d</i>: первая – в точках <i>A, D</i> и <i>E</i>, вторая – в точках <i>B, C</i> и <i>F</i> (см. рис.). Докажите, что длина проекции дуги <i>CD</i> на ось <i>Ox</i> равна сумме длин проекций дуг <i>AB</i> и <i>EF</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109668/problem_109668_img_2.gif"></div>
Внутри параболы <i>y = x</i>² расположены несовпадающие окружности ω<sub>1</sub>, ω<sub>2</sub>, ω<sub>3</sub>, ... так, что при каждом <i>n</i> > 1 окружность ω<sub><i>n</i></sub> касается ветвей параболы и внешним образом окружности ω<sub><i>n</i>–1</sub> (см. рис.). Найдите радиус окружности σ<sub>1998</sub>, если известно, что диаметр ω<sub>1</sub> равен 1 и она касается параболы в её вершине. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109664/problem_109664_img_2.gif"></div>
Окружность, вписанная в треугольник <i>ABC</i>, касается сторон <i>BC, CA, AB</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> соответственно. Точки <i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>2</sub>, <i>C</i><sub>2</sub> – середины дуг <i>BAC, CBA, ACB</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что прямые <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> и <i>C</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>2<...