Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 11 класса - сложность 1-3 с решениями
Пусть –1 < <i>x</i><sub>1</sub> < <i>x</i><sub>2</sub> < ... < <i>x<sub>n</sub></i> < 1 и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109716/problem_109716_img_2.gif">
Докажите, что если <i>y</i><sub>1</sub> < <i>y</i><sub>2</sub> < ... < <i>y<sub>n</sub></i>, то <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109716/problem_109716_img_3.gif">
Докажите неравенство sin<sup><i>n</i></sup>2<i>x</i> + (sin<i><sup>n</sup>x</i> – cos<i><sup>n</sup>x</i>)² ≤ 1.
Найдите все функции<i> f </i>:<i> <img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_3.gif"><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_2.gif"> </i>, которые для всех<i> x,y,z<img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_4.gif"><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_2.gif"> </i>удовлетворяют неравенству<i> f</i>(<i>x+y</i>)<i>+f</i>(<i>y+z</i>)<i>+f</i>(<i>z+x</i>)<i><img src="/storage/problem-media/109707/problem_109707_img_5.gif"> </i>3<i>f</i>...
Пусть <i>M</i> – конечное множество чисел. Известно, что среди любых трёх его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит <i>M</i>.
Какое наибольшее число элементов может быть в <i>M</i>?