Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями
Дан выпуклый 2000-угольник, никакие три диагонали которого не пересекаются в одной точке. Каждая из его диагоналей покрашена в один из 999 цветов. Докажите, что существует треугольник, все стороны которого целиком лежат на диагоналях одного цвета. (Вершины треугольника не обязательно должны оказаться вершинами исходного многоугольника.)
В магическом квадрате <i>n×n</i>, составленном из чисел 1, 2, ..., <i>n</i>², центры каждых двух клеток соединили вектором в направлении от большего числа к меньшему. Докажите, что сумма всех полученных векторов равна нулю. (Магическим называется клетчатый квадрат, в клетках которого записаны числа так, что суммы чисел во всех его строках и столбцах равны.)
Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> имеет три различных действительных корня, а многочлен <i>P</i>(<i>Q</i>(<i>x</i>)), где <i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>x</i> + 2001, действительных корней не имеет. Докажите, что <i>P</i>(2001) > <sup>1</sup>/<sub>64</sub>.
На прямой выбрано 100 множеств<i> A<sub>1</sub>, </i><i> A<sub>2</sub>, </i><i> .. , </i><i> A</i>100, каждое из которых является объединением 100 попарно непересекающихся отрезков. Докажите, что пересечение множеств<i> A<sub>1</sub>, </i><i> A<sub>2</sub>, </i><i> .. , </i><i> A</i>100является объединением не более 9901 попарно непересекающихся отрезков (точка также считается отрезком).
<i>a</i> и <i>b</i> – такие различные натуральные числа, что <i>ab</i>(<i>a + b</i>) делится на <i>a</i>² + <i>ab + b</i>². Докажите, что |<i>a – b</i>| > <img src="/storage/problem-media/109735/problem_109735_img_2.gif"> .
Приведенные квадратные трёхчлены <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах.
Докажите, что найдутся такие положительные числа α и β, что для любого действительного <i>x</i> будет выполняться неравенство α<i>f</i>(<i>x</i>) + β<i>g</i>(<i>x</i>) > 0.
На большей стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>N</i> так, что серединные перпендикуляры к отрезкам <i>AN</i> и <i>NC</i> пересекают стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>K</i> и <i>M</i> соответственно. Докажите, что центр <i>O</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i> лежит на описанной окружности треугольника <i>KBM</i>.