Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» для 11 класса - сложность 3 с решениями
Положительные числа <i>x, y, z</i> таковы, что модуль разности любых двух из них меньше 2.
Докажите, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_2.gif"> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_3.gif"> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_4.gif"> > <i>x + y + z</i>.
Уравнение <i>x<sup>n</sup> + a</i><sub>1</sub><i>x</i><sup><i>n</i>–1</sup> + ... + <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x + a<sub>n</sub></i> = 0 с целыми ненулевыми коэффициентами имеет <i>n</i> различных целых корней.
Докажите, что если каждые два корня взаимно просты, то и числа <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub> и <i>a<sub>n</sub></i> взаимно просты.
Пусть многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a<sub>n</sub>x<sup>n</sup> + a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x</i><sup><i>n</i>–1</sup> + ... + <i>a</i><sub>0</sub> имеет хотя бы один действительный корень и <i>a</i><sub>0</sub> ≠ 0. Докажите, что, последовательно вычеркивая в некотором порядке одночлены в записи <i>P</i>(<i>x</i>), можно получить из него число <i>a</i><sub>0</sub> так, чтобы каждый промежуточный многочлен также имел хотя бы один действительный корень.
В языке жителей Банановой Республики количество слов превышает количество букв в их алфавите. Докажите, что найдется такое натуральное<i> k </i>, для которого можно выбрать<i> k </i>различных слов, в записи которых используется ровно<i> k </i>различных букв.
Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана точка <i>M</i>, а внутри треугольника <i>AMD</i> точка <i>N</i>, причём ∠<i>MNA</i> + ∠<i> MCB</i> = ∠<i>MND</i> + ∠<i>MBC</i> = 180°.
Докажите, что прямые <i>MN</i> и <i>AB</i> параллельны.