Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» для 6-8 класса - сложность 1-5 с решениями

Прямую палку длиной 2 метра распилили на <i>N</i> палочек, длина каждой из которых выражается целым числом сантиметров. При каком наименьшем <i>N</i> можно гарантировать, что, использовав все получившиеся палочки, можно, не ломая их, сложить контур некоторого прямоугольника?

Найдите все такие тройки простых чисел <i>p, q, r</i>, что четвёртая степень каждого из них, уменьшенная на 1, делится на произведение двух остальных.

Вначале на плоскости были отмечены три различные точки. Каждую минуту выбирались некоторые три из отмеченных точек – обозначим их <i>A, B</i> и <i>C</i>, после чего на плоскости отмечалась точка <i>D</i>, симметричная <i>A</i> относительно серединного перпендикуляра к <i>BC</i>. Через сутки оказалось, что среди отмеченных точек нашлись три различные точки, лежащие на одной прямой. Докажите, что три исходных точки также лежали на одной прямой.

Найдите все такие числа <i>a</i>, что для любого натурального <i>n</i> число  <i>an</i>(<i>n</i> + 2)(<i>n</i> + 4)  будет целым.

Даны положительные числа <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>. Докажите неравенство   <img align="middle" src="/storage/problem-media/116543/problem_116543_img_2.gif">

Через центры некоторых клеток шахматной доски 8×8 проведена замкнутая несамопересекающаяся ломаная. Каждое звено ломаной соединяет центры соседних по горизонтали, вертикали или диагонали клеток. Докажите, что в ограниченном ею многоугольнике общая площадь чёрных частей равна общей площади белых частей.

Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i>  (<i>AB = AC</i>).  На меньшей дуге <i>AB</i> описанной около него окружности взята точка <i>D</i>. На продолжении отрезка <i>AD</i> за точку <i>D</i> выбрана точка <i>E</i> так, что точки <i>A</i> и <i>E</i> лежат в одной полуплоскости относительно <i>BC</i>. Описанная окружность треугольника <i>BDE</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>F</i>. Докажите, что прямые <i>EF</i> и <i>BC</i> параллельны.

Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Верно ли, что все числа равны?