Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 11 класса - сложность 3 с решениями
Для натурального <i>a</i> обозначим через <i>P</i>(<i>a</i>) наибольший простой делитель числа <i>a</i>² + 1.
Докажите, что существует бесконечно много таких троек различных натуральных чисел <i>a, b, c</i>, что <i>P</i>(<i>a</i>) = <i>P</i>(<i>b</i>) = <i>P</i>(<i>c</i>).
В Академии Наук 999 академиков. Каждая научная тема интересует ровно троих академиков, и у каждых двух академиков есть ровно одна тема, интересная им обоим. Докажите, что можно выбрать 250 тем из их общей области научных интересов так, чтобы каждый академик интересовался не более чем одной из них.
На стороне <i>BC</i> параллелограмма <i>ABCD</i> (∠<i>A</i> < 90°) отмечена точка <i>T</i> так, что треугольник <i>ATD</i> – остроугольный. Пусть <i>O</i><sub>1</sub>, <i>O</i><sub>2</sub> и <i>O</i><sub>3</sub> – центры описанных окружностей треугольников <i>ABT</i>, <i>DAT</i> и <i>CDT</i> соответственно (см. рисунок). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116647/problem_116647_img_2.gif"></div>Докажите, что ортоцентр треугольника<i>O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub><i>O</i><sub>3</sub>лежит...