Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 4-11 класса - сложность 1-3 с решениями

Исходно на доске написаны многочлены  <i>x</i>³ – 3<i>x</i>² + 5  и  <i>x</i>² – 4<i>x</i>.  Если на доске уже написаны многочлены  <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>), разрешается дописать на неё многочлены  <i>f</i>(<i>x</i>) ± <i>g</i>(<i>x</i>),  <i>f</i>(<i>x</i>)<i>g</i>(<i>x</i>),  <i>f</i>(<i>g</i>(<i>x</i>))  и  <i>cf</i>(<i>x</i>),  где <i>c</i> – произвольная (не обязательно целая) константа. Может ли на доске после нескольких операций появиться многочлен вида  <i>xⁿ</i> – 1  (при...

Сфера ω проходит через вершину <i>S</i> пирамиды <i>SABC</i> и пересекает рёбра <i>SA, SB</i> и <i>SC</i> вторично в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно. Сфера Ω, описанная около пирамиды <i>SABC</i>, пересекается с ω по окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости (<i>ABC</i>). Точки <i>A</i>₂, <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ симметричны точкам <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ относительно...

Натуральное число <i>n</i> назовём <i> хорошим</i>, если каждый его натуральный делитель, увеличенный на 1, является делителем числа  <i>n</i> + 1.

Найдите все хорошие натуральные числа.

Положительные рациональные числа <i>a</i> и <i>b</i> записаны в виде десятичных дробей, у каждой из которых минимальный период состоит из 30 цифр. У десятичной записи числа  <i>a – b</i>  длина минимального периода равна 15. При каком наименьшем натуральном <i>k</i> длина минимального периода десятичной записи числа  <i>a + kb</i>  может также оказаться равной 15?

Петя и Вася играют в игру на клетчатой доске <i>n×n</i> (где  <i>n</i> > 1).  Изначально вся доска белая, за исключением угловой клетки – она чёрная, и в ней стоит ладья. Игроки ходят по очереди. Каждым ходом игрок передвигает ладью по горизонтали или вертикали, при этом все клетки, через которые ладья перемещается (включая ту, в которую она попадает), перекрашиваются в чёрный цвет. Ладья не должна передвигаться через чёрные клетки или останавливаться на них. Проигрывает тот, кто не может сделать ход; первым ходит Петя. Кто выиграет при правильной игре?

Существует ли такое положительное число α, что при всех действительных <i>x</i> верно неравенство   |cos <i>x</i>| + |cos α<i>x</i>| > sin <i>x</i> + sin α<i>x</i>?

Точка <i>M</i> – середина стороны <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i>. На отрезках <i>AM</i> и <i>CM</i> выбраны точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно таким образом, что  <i>PQ = ^AC</i>/₂.  Описанная окружность треугольника <i>ABQ</i> второй раз пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>X</i>, а описанная окружность треугольника <i>BCP</i>, второй раз пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>Y</i>. Докажите, что четырёхугольник <i>BXMY</i> – вписанный.

Треугольник <i>ABC</i>  (<i>AB > BC</i>)  вписан в окружность Ω. На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно так, что  <i>AM = CN</i>.  Прямые <i>MN</i> и <i>AC</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Пусть <i>P</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>AMK</i>, а <i>Q</i> – центр вневписанной окружности треугольника <i>CNK</i>, касающейся стороны <i>CN</i>. Докажите, что середина дуги <i>ABC</i> окружности Ω равноудалена от точек <i>P</i> и <i>Q</i>.

В сейфе <i>n</i> ячеек с номерами от 1 до <i>n</i>. В каждой ячейке первоначально лежала карточка с её номером. Вася переложил карточки в некотором порядке так, что в <i>i</i>-й ячейке оказалась карточка с числом <i>a_i</i>. Петя может менять местами любые две карточки с номерами <i>x</i> и <i>y</i>, платя за это  2|<i>x – y</i>|  рублей. Докажите, что Петя сможет вернуть все карточки на исходные места, заплатив не более  |<i>a</i>₁ – 1| + |<i>a</i>₂ – 2| + ... + |<i>a_n – n</i>|  рублей.

Дана функция <i>f</i>, определённая на множестве действительных чисел и принимающая действительные значения. Известно, что для любых <i>x</i> и <i>y</i>, таких, что  <i>x > y</i>,  верно неравенство  (<i>f</i>(<i>x</i>))² ≤ <i>f</i>(<i>y</i>).  Докажите, что множество значений функции содержится в промежутке  [0,1].

Назовём натуральное число <i>хорошим</i>, если среди его делителей есть ровно два простых числа.

Могут ли 18 подряд идущих натуральных чисел быть хорошими?

В республике математиков выбрали число  α > 2  и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в α<i>^k</i> рублей при каждом натуральном <i>k</i>. При этом α было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз?

Трапеция <i>ABCD</i> с основаниями <i>AB</i> и <i>CD</i> вписана в окружность Ω. Окружность ω проходит через точки <i>C, D</i> и пересекает отрезки <i>CA, CB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ соответственно. Точки <i>A</i>₂ и <i>B</i>₂ симметричны точкам <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ относительно середин отрезков <i>CA</i> и <i>CB</i> соответственно. Докажите, что точки <i>A, B, A</i>₂ и <i>B</i>₂ лежат на одной окружности.

К натуральному числу <i>N</i> прибавили наибольший его делитель, меньший <i>N</i>, и получили степень десятки. Найдите все такие <i>N</i>.

Точка <i>M</i> – середина стороны <i>AC</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i>, в котором  <i>AB > BC</i>.  Касательные к описанной окружности Ω треугольника <i>ABC</i>, проведённые в точках <i>A</i> и <i>C</i>, пересекаются в точке <i>P</i>. Отрезки <i>BP</i> и <i>AC</i> пересекаются в точке <i>S</i>. Пусть <i>AD</i> – высота треугольника <i>BP</i>. Описанная окружность ω треугольника <i>CSD</i> второй раз пересекает окружность Ω в точке <i>K</i>. Докажите, что  ∠<i>CKM</i> = 90°.

В выпуклом <i>n</i>-угольнике проведено несколько диагоналей. Проведённая диагональ называется <i>хорошей</i>, если она пересекается (по внутренним точкам) ровно с одной из других проведённых диагоналей. Найдите наибольшее возможное количество хороших диагоналей.

Серёжа выбрал два различных натуральных числа <i>a</i> и <i>b</i>. Он записал в тетрадь четыре числа:  <i>a,  a</i> + 2,  <i>b</i> и  <i>b</i> + 2.  Затем он выписал на доску все шесть попарных произведений чисел из тетради. Какое наибольшее количество точных квадратов может быть среди чисел на доске?

По кругу расставлены 99 натуральных чисел. Известно, что каждые два соседних числа отличаются или на 1, или на 2, или в два раза.

Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.