Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» - сложность 2 с решениями
Натуральное число <i>n</i> назовём <i> хорошим</i>, если каждый его натуральный делитель, увеличенный на 1, является делителем числа <i>n</i> + 1.
Найдите все хорошие натуральные числа.
Существует ли такое положительное число α, что при всех действительных <i>x</i> верно неравенство |cos <i>x</i>| + |cos α<i>x</i>| > sin <i>x</i> + sin α<i>x</i>?
Назовём натуральное число <i>хорошим</i>, если среди его делителей есть ровно два простых числа.
Могут ли 18 подряд идущих натуральных чисел быть хорошими?
К натуральному числу <i>N</i> прибавили наибольший его делитель, меньший <i>N</i>, и получили степень десятки. Найдите все такие <i>N</i>.
По кругу расставлены 99 натуральных чисел. Известно, что каждые два соседних числа отличаются или на 1, или на 2, или в два раза.
Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.