Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» для 7-10 класса - сложность 2 с решениями
Квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) имеет два различных корня. Оказалось, что для любых чисел <i>a</i> и <i>b</i> верно неравенство <i>f</i>(<i>a</i>² + <i>b</i>²) ≥ <i>f</i>(2<i>ab</i>).
Докажите, что хотя бы один из корней этого трёхчлена – отрицательный.
На новогодний вечер пришли несколько супружеских пар, у каждой из которых было от 1 до 10 детей. Дед Мороз выбирал одного ребёнка, одну маму и одного папу из трёх разных семей и катал их в санях. Оказалось, что у него было ровно 3630 способов выбрать нужную тройку людей. Сколько всего могло быть детей на этом вечере?
На плоскости отметили все вершины правильного <i>n</i>-угольника, а также его центр. Затем нарисовали контур этого <i>n</i>-угольника, и центр соединили со всеми вершинами; в итоге <i>n</i>-угольник разбился на <i>n</i> треугольников. Вася записал в каждую отмеченную точку по числу (среди чисел могут быть равные). В каждый треугольник разбиения он записал в произвольном порядке три числа, стоящих в его вершинах; после этого он стёр числа в отмеченных точках. При каких <i>n</i> по тройкам чисел, записанным в треугольниках, Петя всегда сможет восстановить число в каждой отмеченной точке?
Целые числа <i>a, x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i><sub>13</sub> таковы, что <i>a</i> = (1 + <i>x</i><sub>1</sub>)(1 + <i>x</i><sub>2</sub>)...(1 + <i>x</i><sub>13</sub>) = (1 – <i>x</i><sub>1</sub>)(1 – <i>x</i><sub>2</sub>)...(1 – <i>x</i><sub>13</sub>). Докажите, что <i>ax</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub>...<i>x</i><sub>13</sub> = 0.
Дан прямоугольный треугольник <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i>. Пусть <i>BK</i> – биссектриса этого треугольника. Описанная окружность треугольника <i>AKB</i> пересекает вторично сторону <i>BC</i> в точке <i>L</i>. Докажите, что <i>CB + CL = AB</i>.
После просмотра фильма зрители по очереди оценивали фильм целым числом баллов от 0 до 10. В каждый момент времени рейтинг фильма вычислялся как сумма всех выставленных оценок, делённая на их количество. В некоторый момент времени <i>T</i> рейтинг оказался целым числом, а затем с каждым новым проголосовавшим зрителем он уменьшался на единицу. Какое наибольшее количество зрителей могло проголосовать после момента <i>T</i>?
Назовём натуральное число <i>интересным</i>, если сумма его цифр – простое число.
Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?
За круглым столом сидят 2015 человек, каждый из них – либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Им раздали по одной карточке, на каждой карточке написано по числу; при этом все числа на карточках различны. Посмотрев на карточки соседей, каждый из сидящих за столом сказал: "Мое число больше, чем у каждого из двух моих соседей". После этого <i>k</i> из сидящих сказали: "Мое число меньше, чем у каждого из двух моих соседей". При каком наибольшем <i>k</i> это могло случиться?