Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» - сложность 3-5 с решениями

По кругу расставлено 300 положительных чисел. Могло ли случиться так, что каждое из этих чисел, кроме одного, равно разности своих соседей?

Есть полусферическая ваза, закрытая плоской крышкой. В вазе лежат четыре одинаковых апельсина, касаясь вазы, и один грейпфрут, касающийся всех четырёх апельсинов. Верно ли, что все четыре точки касания грейпфрута с апельсинами обязательно лежат в одной плоскости? (Все фрукты являются шарами.)

Продолжения медиан <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ треугольника <i>ABC</i> пересекают его описанную окружность в точках <i>A</i>₀, <i>B</i>₀ и <i>C</i>₀ соответственно. Оказалось, что площади треугольников <i>ABC</i>₀, <i>AB</i>₀<i>C</i> и <i>A</i>₀<i>BC</i> равны. Докажите, что треугольник <i>ABC</i> равносторонний.

Петя хочет выписать все возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз встречается число 4 или 5, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на 2. Сколько последовательностей ему придётся выписать?

Дано натуральное число  <i>n</i> ≥ 2.  Рассмотрим все такие покраски клеток доски <i>n</i>×<i>n</i> в <i>k</i> цветов, что каждая клетка покрашена ровно в один цвет и все <i>k</i> цветов встречаются. При каком наименьшем <i>k</i> в любой такой покраске найдутся четыре окрашенных в четыре разных цвета клетки, расположенные в пересечении двух строк и двух столбцов?

Коэффициенты <i>a, b, c</i> квадратного трёхчлена  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  – натуральные числа, сумма которых равна 2000. Паша может изменить любой коэффициент на 1, заплатив 1 рубль. Докажите, что он может получить квадратный трёхчлен, имеющий хотя бы один целый корень, заплатив не более 1050 рублей.

Положительные числа <i>a, b, c</i> удовлетворяют соотношению  <i>ab + bc + ca</i> = 1.  Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65122/problem_65122_img_2.gif">

Пусть <i>AL</i> – биссектриса треугольника <i>ABC</i>. Серединный перпендикуляр к отрезку<i>AL</i> пересекает описанную окружность Ω треугольника <i>ABC</i>, в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>PLQ</i>, касается стороны <i>BC</i>.

Петя хочет выписать все возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз встречается тройка, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на 1. Сколько последовательностей ему придётся выписать?

Числа <i>a, b, c</i> и <i>d</i> таковы, что  <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>² = 4.  Докажите, что  (2 + <i>a</i>)(2 + <i>b</i>) ≥ <i>cd</i>.

В неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрисы угла <i>ABC</i> и угла, смежного с ним. Они пересекли прямую <i>AC</i> в точках <i>B</i>₁ и <i>B</i>₂ соответственно. Из точек <i>B</i>₁ и <i>B</i>₂ провели касательные к окружности ω, вписанной в треугольник <i>ABC</i>, отличные от прямой <i>AC</i>. Они касаются ω в точках <i>K</i>₁ и <i>K</i>₂ соответственно. Докажите, что точки <i>B</i>, <i>K</i>₁ и <i>K</i>₂ лежат на одной прям...

Правильный треугольник со стороной 3 разбит на девять треугольных клеток, как показано на рисунке. В этих клетках изначально записаны нули. За один ход можно выбрать два числа, находящиеся в соседних по стороне клетках, и либо прибавить к обоим по единице, либо вычесть из обоих по единице. Петя хочет сделать несколько ходов так, чтобы после этого в клетках оказались записаны в некотором порядке последовательные натуральные числа  <i>n, n</i> + 1, ..., <i>n</i> + 8.  При каких <i>n</i> он сможет это сделать? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65113/problem_65113_img_2.gif"></div>