Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 11 класса - сложность 1-2 с решениями
Число <i>x</i> таково, что обе суммы <i>S</i> = sin 64<i>x</i> + sin 65<i>x</i> и <i>C</i> = cos 64<i>x</i> + cos 65<i>x</i> – рациональные числа.
Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны.
Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен степени <i>n</i> ≥ 2 с неотрицательными коэффициентами, а <i>a, b</i> и <i>c</i> – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.
Докажите, что числа <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66160/problem_66160_img_2.gif"> также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.
На координатной плоскости нарисованы графики двух приведённых квадратных трёхчленов и две непараллельные прямые <i>l</i><sub>1</sub> и <i>l</i><sub>2</sub>. Известно, что отрезки, высекаемые графиками на <i>l</i><sub>1</sub>, равны, и отрезки, высекаемые графиками на <i>l</i><sub>2</sub>, также равны. Докажите, что графики трёхчленов совпадают.