Олимпиадные задачи по математике для 5-8 класса - сложность 2-3 с решениями
Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i>, в котором ∠<i>B</i> = 120°. На продолжениях сторон <i>AB</i> и <i>CB</i> за точку <i>B</i> взяли точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что лучи <i>AQ</i> и <i>CP</i> пересекаются под прямым углом. Докажите, что ∠<i>PQB</i> = 2∠<i>PCQ</i>.
Дан равносторонний треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>, проходящая через его центр. Точки пересечения этой прямой со сторонами <i>AB</i> и <i>BC</i> отразили относительно середин этих сторон соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через получившиеся точки, касается вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Дан выпуклый шестиугольник <i>ABCDEF</i>. Известно, что ∠<i>FAE</i> = ∠<i>BDC</i>, а четырёхугольники <i>ABDF</i> и <i>ACDE</i> являются вписанными.
Докажите, что прямые <i>BF</i> и <i>CE</i> параллельны.
Один треугольник лежит внутри другого.
Докажите, что хотя бы одна из двух наименьших сторон (из шести) является стороной внутреннего треугольника.
В треугольнике <i>ABC</i> <i>AB – BC</i> = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115902/problem_115902_img_2.gif">. Пусть <i>M</i> – середина стороны <i>AC</i>, а <i>BN</i> – биссектриса. Докажите, что ∠<i>BMC</i> + ∠<i>BNC</i> = 90°.
Пусть <i>AH<sub>a</sub></i> и <i>BH<sub>b</sub></i> – высоты треугольника <i>ABC, P</i> и <i>Q</i> – проекции точки <i>H<sub>a</sub></i> на стороны <i>AB</i> и <i>AC</i>. Докажите, что прямая <i>PQ</i> делит отрезок <i>H<sub>a</sub>H<sub>b</sub></i> пополам.
Радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника <i>ABC</i> равны <i>R</i> и <i>r</i>; <i>O, I</i> – центры этих окружностей. Внешняя биссектриса угла <i>C</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>P</i>. Точка <i>Q</i> – проекция точки <i>P</i> на прямую <i>OI</i>. Найдите расстояние <i>OQ</i>.
Через терминал оплаты на мобильный телефон можно перевести деньги, при этом взимается комиссия – натуральное число процентов. Федя положил целое количество рублей на мобильный телефон, и его счет пополнился на 847 рублей. Сколько денег положил на счет Федя, если известно, что комиссия менее 30%?
Фокусник Арутюн и его помощник Амаяк собираются показать следующий фокус. На доске нарисована окружность. Зрители отмечают на ней 2007 различных точек, затем помощник фокусника стирает одну из них. После этого фокусник впервые входит в комнату, смотрит на рисунок и отмечает полуокружность, на которой лежала стертая точка. Как фокуснику договориться с помощником, чтобы фокус гарантированно удался?
На стороне <i>BC</i> ромба <i>ABCD</i> выбрана точка <i>M</i>. Прямые, проведённые через <i>M</i> перпендикулярно диагоналям <i>BD</i> и <i>AC</i>, пересекают прямую <i>AD</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Оказалось, что прямые <i>PB, QC</i> и <i>AM</i> пересекаются в одной точке. Чему может быть равно отношение <i>BM</i> : <i>MC</i>?
Поставьте на плоскости 9 точек так, чтобы никакие 4 не лежали на одной прямой, но из любых шести нашлись 3, лежащие на одной прямой. (На рисунке проведите все прямые, на которых лежат по три отмеченные точки.)
В четырёхугольнике <i>ABCD</i> углы <i>A</i> и <i>C</i> равны. Биссектриса угла <i>B</i> пересекает прямую <i>AD</i> в точке <i>P</i>. Перпендикуляр к <i>BP</i>, проходящий через точку <i>A</i>, пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что прямые <i>PQ</i> и <i>CD</i> параллельны.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AH<sub>A</sub>, BH<sub>B</sub></i> и <i>CH<sub>C</sub></i>.
Докажите, что треугольник с вершинами в ортоцентрах треугольников <i>AH<sub>B</sub>H<sub>C</sub>, BH<sub>A</sub>H<sub>C</sub></i> и <i>CH<sub>A</sub>H<sub>B</sub></i> равен треугольнику <i>H<sub>A</sub>H<sub>B</sub>H<sub>C</sub></i>.
Стороны <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> касаются некоторой окружности в точках <i>K, L, M</i> и <i>N</i> соответственно, <i>S</i> – точка пересечения отрезков <i>KM</i> и <i>LN</i>. Известно, что вокруг четырёхугольника <i>SKBL</i> можно описать окружность. Докажите, что вокруг четырёхугольника <i>SNDM</i> также можно описать окружность.
Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Пусть $O$ – точка пересечения общих внешних касательных к $\omega_1$ и $\omega_2$. Прямая, проходящая через точку $O$, пересекает $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно, так, что эти две точки лежат по одну сторону от $PQ$. Прямая $PA$ повторно пересекает $\omega_2$ в точке $C$, а прямая $QB$ повторно пересекает $\omega_1$ в точке $D$. Докажите, что $O$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой.
Четырехугольник $ABCD$ – вписанный. Окружность, проходящая через точки $A$ и $B$, пересекает диагонали $AC$ и $BD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Пусть прямые $AF$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $BE$ и $AD$ – в точке $Q$. Докажите, что $PQ$ параллельна $CD$.
Два четырехугольника $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ симметричны друг другу относительно точки $P$. Известно, что четырехугольники $A_1BCD$, $AB_1CD$ и $ABC_1D$ вписанные. Докажите, что $ABCD_1$ тоже вписанный.
По краю многоугольного стола ползут два муравья. Все стороны стола длиннее 1 м, а расстояние между муравьями всегда ровно 10 см. Сначала оба муравья находятся на одной из сторон стола.
a) Пусть стол выпуклый. Всегда ли муравьи смогут проползти по краю стола так, чтобы в каждой точке края побывал каждый из муравьев?
б) Пусть стол не обязательно выпуклый. Всегда ли муравьи смогут проползти по краю стола так, чтобы на краю не осталось точек, в которых не побывал ни один из муравьев?
На циферблате правильно идущих часов барона Мюнхгаузена есть только часовая, минутная и секундная стрелки, а все цифры и деления стёрты. Барон утверждает, что может определять время по этим часам, поскольку, по его наблюдению, на них в течение дня (с 8.00 до 19.59) не повторяется два раза одно и то же расположение стрелок. Верно ли наблюдение барона? (Стрелки имеют различную длину, движутся равномерно.)
Дан квадрат <i>ABCD, M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>BC</i> и <i>AD</i>. На продолжении диагонали <i>AC</i> за точку <i>A</i> взяли точку <i>K</i>. Отрезок <i>KM</i> пересекает сторону <i>AB</i>
в точке <i>L</i>. Докажите, что углы <i>KNA</i> и <i>LNA</i> равны.
На сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> выбрали точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что <i>PB = QC</i>. Докажите, что <i>PQ < BC</i>.
Даны две единичные окружности ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub>, пересекающиеся в точках <i>A</i> и <i>B</i>. На окружности ω<sub>1</sub> взяли произвольную точку <i>M</i>, а на окружности ω<sub>2</sub> точку <i>N</i>. Через точки <i>M</i> и <i>N</i> провели ещё две единичные окружности ω<sub>3</sub> и ω<sub>4</sub>. Обозначим повторное пересечение ω<sub>1</sub> и ω<sub>3</sub> через <i>C</i>, повторное пересечение окружностей ω<sub>2</sub> и ω<sub>4</sub> – через <i>D</i>. Докажите, что <i>ACBD</i> – параллелограмм.
На плоскости отмечена точка <i>M</i>, не лежащая на осях координат. По оси ординат движется точка <i>Q</i>, а по оси абсцисс точка <i>P</i> так, что угол <i>PMQ</i> всегда остаётся прямым. Найдите геометрическое место точек <i>N</i>, симметричных <i>M</i> относительно <i>PQ</i>.
Дан треугольник <i>ABC</i>. <i>M</i> – середина стороны <i>BC</i>, а <i>P</i> – проекция вершины <i>B</i> на серединный перпендикуляр к <i>AC</i>. Прямая <i>PM</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что треугольник <i>QPB</i> равнобедренный.
Даны две точки <i>A</i> и <i>B</i>. Найдите геометрическое место таких точек <i>C</i>, что точки <i>A, B</i> и <i>C</i> можно накрыть кругом единичного радиуса.