Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 3 с решениями
В круглый бокал, осевое сечение которого — график функции<i>y</i>=<i>x</i><sup>4</sup>, опускают вишенку — шар радиуса<i>r</i>. При каком наибольшем<i>r</i>шар коснется нижней точки дна? (Другими словами, каков максимальный радиус<i>r</i>круга, лежащего в области<i>y</i>$\ge$<i>x</i><sup>4</sup>и содержащего начало координат?)
Функция <i>f</i>(<i>x</i>) на отрезке [<i>a, b</i>] равна максимуму из нескольких функций вида <i>y = C</i>·10<sup>–|<i>x–d</i>|</sup> (с различными <i>d</i> и <i>C</i>, причём все <i>C</i> положительны). Дано, что
<i>f</i>(<i>a</i>) = <i>f</i>(<i>b</i>). Докажите, что сумма длин участков, на которых функция возрастает, равна сумме длин участков, на которых функция убывает.
На какое максимальное число частей могут разбить координатную плоскость <i>xOy</i> графики 100 квадратных трехчлёнов вида
<i>y = a<sub>n</sub>x</i>² + <i>b<sub>n</sub>x + c<sub>n</sub></i> (<i>n</i> = 1, 2, ..., 100)?
В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?
Из последовательности <i>a</i>, <i>a + d, a</i> + 2<i>d, a</i> + 3<i>d</i>, ..., являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где <i>d</i> не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение <sup><i>a</i></sup>/<sub><i>d</i></sub> рационально. Докажите это.