Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 2 с решениями

Известно, что<i>tg</i> $\alpha$+<i>tg</i> $\beta$=<i>p</i>,<i>ctg</i> $\alpha$+<i>ctg</i> $\beta$=<i>q</i>. Найти <i>tg</i> ($\alpha$+$\beta$).

На квадратном торте расположены треугольные шоколадки, которые не соприкасаются между собой. Всегда ли можно разрезать торт на выпуклые многоугольники так, чтобы каждый многоугольник содержал ровно одну шоколадку? (Торт считайте плоским квадратом.)

Можно ли разбить все пространство на правильные тетраэдры и октаэдры?

Существует ли кусочно-линейная функция <i>f</i>, определённая на отрезке  [–1, 1]  (включая концы), для которой  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))= – <i>x</i>  при всех <i>x</i>?

(Функция называется кусочно-линейной, если её график есть объединение конечного числа точек и интервалов прямой; она может быть разрывной.)

Существует ли число, в десятичной записи квадрата которого имеется последовательность цифр «2018»?