Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 4-5 с решениями

По шоссе в одном направлении едут 10 автомобилей. Шоссе проходит через несколько населённых пунктов. Каждый из автомобилей едет с некоторой постоянной скоростью в населённых пунктах и с некоторой другой постоянной скоростью вне населённых пунктов. Для разных автомобилей эти скорости могут отличаться. Вдоль шоссе расположено 2011 флажков. Известно, что каждый автомобиль проехал мимо каждого флажка, причём около флажков обгонов не происходило. Докажите, что мимо каких-то двух флажков автомобили проехали в одном и том же порядке.

Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.

Дана треугольная пирамида<i> ABCD </i>. Сфера<i> S₁ </i>, проходящая через точки<i> A </i>,<i> B </i>,<i> C </i>, пересекает ребра<i> AD </i>,<i> BD </i>,<i> CD </i>в точках<i> K </i>,<i> L </i>,<i> M </i>соответственно; сфера<i> S₂ </i>, проходящая через точки<i> A </i>,<i> B </i>,<i> D </i>, пересекает ребра<i> AC </i>,<i> BC </i>,<i> DC </i>в точках<i> P </i>,<i> Q </i>,<i> M </i>соответственно. Оказалось, что<i> KL|| PQ </i>. Докажите, что биссектрисы плоских углов<i> KMQ &lt...

За круглым столом сидят 100 представителей 25 стран, по 4 представителя от каждой. Докажите, что их можно разбить на 4 группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и никакие двое из одной группы не сидят за столом рядом.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> является одновременно и вписанным, и описанным, причём вписанная в <i>ABCD</i> окружность касается его сторон <i>AB, BC, CD</i> и <i>AD</i> в точках <i>K, L, M, N</i> соответственно. Биссектрисы внешних углов <i>A</i> и <i>B</i> четырёхугольника пересекаются в точке <i>K'</i>, внешних углов <i>B</i> и <i>C</i> – в точке <i>L'</i>, внешних углов <i>C</i> и <i>D</i> – в точке <i>M'</i>, внешних углов <i>D</i> и <i>A</i> – в точке <i>N'</i>. Докажите, что прямые <i>KK', LL', MM'</i> и <i>NN'</i> проход...

На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трех из них существует декартова система координат (т.е. перпендикулярные оси и общий масштаб), в которой эти точки имеют целые координаты. Докажите, что существует декартова система координат, в которой все отмеченные точки имеют целые координаты.

Клетки таблицы 100×100 окрашены в 4 цвета так, что в каждой строке и в каждом столбце ровно по 25 клеток каждого цвета.

Докажите, что найдутся две строки и два столбца, все четыре клетки на пересечении которых окрашены в разные цвета.

Внутри выпуклого стоугольника выбрано<i> k </i>точек,2<i><img src="/storage/problem-media/109552/problem_109552_img_2.gif"> k<img src="/storage/problem-media/109552/problem_109552_img_2.gif"> </i>50. Докажите, что можно отметить2<i>k </i>вершин стоугольника так, чтобы все выбранные точки оказались внутри2<i>k </i>-угольника с отмеченными вершинами.

Пусть<i> ABCD </i>– вписанный четырёхугольник,<i> O </i>– точка пересечения диагоналей<i> AC </i>и<i> BD </i>. Пусть окружности, описанные около треугольников<i> ABO </i>и<i> COD </i>, пересекаются в точке<i> K </i>. Точка<i> L </i>такова, что треугольник<i> BLC </i>подобен треугольнику<i> AKD </i>. Докажите, что если четырёхугольник<i> BLCK </i>выпуклый, то он он является описанным.

Существует ли такая бесконечная возрастающая последовательность <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ... натуральных чисел, что сумма любых двух различных членов последовательности взаимно проста с суммой любых трёх различных членов последовательности?

У нумизмата есть 100 одинаковых по внешнему виду монет. Он знает, что среди них 30 настоящих и 70 фальшивых монет. Кроме того, он знает, что массы всех настоящих монет одинаковы, а массы всех фальшивых – разные, причём каждая фальшивая монета тяжелее настоящей; однако точные массы монет неизвестны. Имеются двухчашечные весы без гирь, на которых можно за одно взвешивание сравнить массы двух групп, состоящих из одинакового числа монет. За какое наименьшее количество взвешиваний на этих весах нумизмат сможет гарантированно найти хотя бы одну настоящую монету?